Bài tập nâng cao · Bài 37
DẠNG 4. CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC VÉC – TƠ KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐIỂM DI ĐỘNG
Bài tập nâng cao Tích của một vectơ với một số · Bài 37
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $O$ là tâm hình vuông.
Theo quy tắc ba điểm ta có
$\overrightarrow{v}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)$
$=\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}$.
Mà $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA} \Rightarrow \overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{OA}$.
Suy ra $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.
Theo quy tắc ba điểm ta có
$\overrightarrow{v}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)$
$=\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}$.
Mà $\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA} \Rightarrow \overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{OA}$.
Suy ra $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.