Độ $ pH $ của một dung dịch được tính theo công thức $ pH=-\log\left[ H ^ { + } \right] $, trong đó $ \left[ H ^ { + } \right] $ là nồng độ $ H ^ { + } $ tính bằng $ mol/l $. Ban đầu, một dung dich A có độ $ pH $ là $ 4 $. Trong 10 giây, người ta đổ nước thêm vào dung dịch A thì nồng độ ion nồng độ $ H ^ { + } $ thay đổi theo phương trình $ f\left ( { t } \right )=10 ^ { -\frac { t ^ { 2 } } { 100 }-4 } \,,\,\,0≤t≤10 $. Tính tốc độ thay đổi của $ pH $của dung dịch A tại giây thứ 5 ?

Ta có $ pH=-\log\left[ H ^ { + } \right]=-\log\left ( { 10 ^ { -\frac { t ^ { 2 } } { 100 }-4 } } \right )=-\left ( { -\frac { t ^ { 2 } } { 100 }-4 } \right )=\frac { t ^ { 2 } } { 100 }+4 $. Do đó tốc độ thay đổi của $ pH $ là $ \left ( { pH } \right ) ^ { ' } =\left ( { -\log\left[ H ^ { + } \right] } \right ) ^ { ' } =\left ( { \frac { t ^ { 2 } } { 100 }+4 } \right ) ^ { ' } =\frac { 2t } { 100 }=\frac { t } { 50 } $. Vậy tốc độ thay đổi của $ pH $của dung dịch A tại giây thứ 5 là $ \frac { 5 } { 50 }=\frac { 1 } { 10 }=0,1 $.