Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 9

Dựng $AI\perp SB\Rightarrow AI\perp\left( SBC \right)$, dựng $AH\perp SD\Rightarrow AH\perp\left( SCD \right)$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$ là góc giữa AI và AH chính là góc $\widehat{IAH}$ hoặc $180^{\circ}-\widehat{IAH}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông $SAB$ và $SAD$ có
$SB=\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}=a\sqrt{2}$, $SD=\sqrt{SA^{2}+AD^{2}}=a\sqrt{5}$.
$AI.SB=AB.AS\Rightarrow AI=\frac{a.a}{a\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$, $AH.SD=AD.AS\Rightarrow AH=\frac{2a.a}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$.
$SI=\frac{SA^{2}}{SB}=\frac{a^{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}$, $SH=\frac{SA^{2}}{SD}=\frac{a^{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$.
Áp dụng định lý hàm số $\cos$ cho hai tam giác $BSD$ và $ISH$ có chung góc $S$
$\cos\widehat{S}=\frac{SB^{2}+SD^{2}-BD^{2}}{2.SB.SD}=\frac{2a^{2}+5a^{2}-5a^{2}}{2.a\sqrt{2}.a\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.
$IH^{2}=SI^{2}+SH^{2}-2.SI.SH.\cos\widehat{S}=\frac{a^{2}}{2}+\frac{a^{2}}{5}-2.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{a}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{a^{2}}{2}$.
$\cos\widehat{IAH}=\frac{AI^{2}+AH^{2}-IH^{2}}{2.AI.AH}=\frac{\frac{a^{2}}{2}+\frac{4a^{2}}{5}-\frac{a^{2}}{2}}{2.\frac{a}{\sqrt{2}}.\frac{2a}{\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow\widehat{IAH}=\arccos\left( \frac{\sqrt{10}}{5} \right)$.