Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 10
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC}=60^{\circ}$, tam giác $SBC$ là tam giác đều có cạnh bằng $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SAC \right)$ và $\left( ABC \right)$. Tính $\tan\varphi$
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $H$ là trung điểm của $BC$, suy ra $SH\perp BC\Rightarrow SH\perp\left( ABC \right)$.
Gọi $K$ là trung điểm của $AC$, suy ra $HK\parallel AB$ nên $HK\perp AC$.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} AC\perp HK \\ AC\perp SH \end{array} \right.\Rightarrow AC\perp\left( SHK \right)\Rightarrow AC\perp SK$.
Do đó $\left( \left( SAC \right),\left( ABC \right) \right)=\left( SK,HK \right)=\widehat{SKH}$.
Tam giác vuông $ABC$, có : $AB=BC.\cos\widehat{ABC}=a\Rightarrow HK=\frac{1}{2}AB= \frac{a}{2}$.
Tam giác vuông $SHK$, có : $\tan\widehat{SKH}=\frac{SH}{HK}=2\sqrt{3}$.