Bài tập nâng cao · Bài 11
Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 11
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}$ (hình bên). Gọi $H,\,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $SB,\,SD$. Số đo của góc tạo bởi mặt phẳng $\left( AHK \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} BC\perp AB \\ BC\perp SA \\ AB\cap SA=\left\{ A \right\} \\ AB,SA\subset\left( SAB \right) \end{array} \right.\Rightarrow BC\perp\left( SAB \right)$. Suy ra $AH\perp BC$.
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l} AH\perp BC \\ AH\perp SB \\ BC\cap SB=\left\{ B \right\} \\ BC,SB\subset\left( SBC \right) \end{array} \right.\Rightarrow AH\perp\left( SBC \right)\Rightarrow AH\perp SC$.
Chứng minh tương tự ta có $AK\perp\left( SCD \right)\Rightarrow AK\perp SC$.
Có $\left\{ \begin{array}{l} AH\perp SC \\ AK\perp SC \\ AH\cap AK=\left\{ A \right\} \\ AH,AK\subset\left( AHK \right) \end{array} \right.\Rightarrow SC\perp\left( AHK \right)$.
Do $\left\{ \begin{array}{l} SC\perp\left( AHK \right) \\ SA\perp\left( ABCD \right) \end{array} \right.$ suy ra $\widehat{\left( \left( AHK \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC,SA \right)}=\widehat{ASC}$.
Có $AC=a\sqrt{2},SA=a\sqrt{2}\Rightarrow\widehat{ASC}=45^{\circ}$.
Vậy $\widehat{\left( \left( AHK \right),\left( ABCD \right) \right)}=45^{\circ}$.
Lại có: $\left\{ \begin{array}{l} AH\perp BC \\ AH\perp SB \\ BC\cap SB=\left\{ B \right\} \\ BC,SB\subset\left( SBC \right) \end{array} \right.\Rightarrow AH\perp\left( SBC \right)\Rightarrow AH\perp SC$.
Chứng minh tương tự ta có $AK\perp\left( SCD \right)\Rightarrow AK\perp SC$.
Có $\left\{ \begin{array}{l} AH\perp SC \\ AK\perp SC \\ AH\cap AK=\left\{ A \right\} \\ AH,AK\subset\left( AHK \right) \end{array} \right.\Rightarrow SC\perp\left( AHK \right)$.
Do $\left\{ \begin{array}{l} SC\perp\left( AHK \right) \\ SA\perp\left( ABCD \right) \end{array} \right.$ suy ra $\widehat{\left( \left( AHK \right),\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC,SA \right)}=\widehat{ASC}$.
Có $AC=a\sqrt{2},SA=a\sqrt{2}\Rightarrow\widehat{ASC}=45^{\circ}$.
Vậy $\widehat{\left( \left( AHK \right),\left( ABCD \right) \right)}=45^{\circ}$.