Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 12

Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ và $K$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$.
Ta có góc giữa hai mặt phẳng $\left( AIK \right)$ và $\left( ABC \right)$ cũng chính là góc giữa hai mặt phẳng $\left( AIK \right)$ và $\left( AMN \right)$.
Mặt khác $\Delta AMN$ là hình chiếu vuông góc của $\Delta AIK$ lên $\left( ABC \right)$.
Khi đó ta có $S_{\Delta AMN}=S_{\Delta AIK}.\cos\varphi$ $\Rightarrow\cos\varphi=\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta AIK}}$ $\left( * \right)$.
Ta có $S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}AM.AN.\sin 60^{\circ}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$.
Xét $\Delta A'AB$ vuông tại $A$ ta có $A'A=AB.\tan 60^{\circ}=2a\sqrt{3}$; $A'B=\sqrt{AB^{2}+A'A^{2}}=\sqrt{4a^{2}+12a^{2}}=4a$ $\Rightarrow AI=AK=2a$.
Gọi $J$ là trung điểm $IK$ suy ra $AJ=\sqrt{AI^{2}-IJ^{2}}=\sqrt{4a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$.
Ta có $S_{\Delta AIK}=\frac{1}{2}AJ.IK=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{15}}{2}.a=\frac{a^{2}\sqrt{15}}{4}$.
Vậy $\cos\varphi=\frac{\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}{\frac{a^{2}\sqrt{15}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$.