Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 13

Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ $\Rightarrow BM\perp AC$ và $BM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ $=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Kẻ $AH\perp SC$ tại $H$ và $MN\perp SC$ tại $N$ suy ra $\widehat{\left( \left( SAC \right),\,\left( SBC \right) \right)}=\widehat{BNM}$.
Có $\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{2a^{2}}=\frac{3}{2a^{2}}$ $\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $MN=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
Ta có tam giác $BMN$ vuông tại $M$ nên $\tan\widehat{BNM}=\frac{BM}{MN}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{6}}=\sqrt{3}$ $\Rightarrow\widehat{BNM}=60^{\circ}$.
Vậy $\widehat{\left( \left( SAC \right),\,\left( SBC \right) \right)}=60^{\circ}$.