Cho $(u_n)$ là một cấp số cộng có các số hạng là các số nguyên và thoả mãn $\begin{cases} u_1^2 - u_3 + 2u_5 = 180 \\ 3S_4 - 5S_8 = -124 \end{cases}$. Biết $k$ là số nguyên dương sao cho: $\frac{1}{u_1 u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + \frac{1}{u_3 u_4} + \dots + \frac{1}{u_k u_{k+1}} = -\frac{30}{1391}$. Tính giá trị của $T = 2024 + 25k - k^2$.

Lời giải Ta có: $$ \begin{cases} u_1^2 - u_3 + 2u_5 = 180 \\ 3S_4 - 5S_8 = -124 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1^2 - (u_1 + 2d) + 2(u_1 + 4d) = 180 \\ 3 \cdot \frac{4(2u_1 + 3d)}{2} - 5 \cdot \frac{8(2u_1 + 7d)}{2} = -124 \end{cases} $$ $$ \Leftrightarrow \begin{cases} u_1^2 + u_1 + 6d = 180 \quad (1) \\ 14u_1 + 61d = 62 \quad (2) \end{cases} $$ Từ $(2) \Rightarrow d = \frac{62 - 14u_1}{61}$, thay vào phương trình $(1)$, ta được: $$ u_1^2 + u_1 + 6 \cdot \frac{62 - 14u_1}{61} = 180 \Leftrightarrow 61u_1^2 - 23u_1 - 10608 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = -13 \\ u_1 = \frac{816}{61} \end{cases} $$ Vì $(u_n)$ là một cấp số cộng có các số hạng là các số nguyên nên ta nhận $u_1 = -13 \Rightarrow d = 4$. Ta lại có: $$ \frac{1}{u_1 u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + \frac{1}{u_3 u_4} + \dots + \frac{1}{u_k u_{k+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{d}{u_1 u_2} + \frac{d}{u_2 u_3} + \frac{d}{u_3 u_4} + \dots + \frac{d}{u_k u_{k+1}} \right) $$ $$ = \frac{1}{d} \left( \frac{u_2 - u