Bài tập nâng cao · Bài 27
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 27
Giải bất phương trình $\log_{2}\left( 5^{x}+2 \right)+2\log_{\left( 5^{x}+2 \right)}2>3$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $\log_{2}\left( 5^{x}+2 \right)=t$. Do $5^{x}+2>2$ với mọi $x$ nên $\log_{2}\left( 5^{x}+2 \right)>\log_{2}2=1$ hay $t>1$.
Bất phương trình đã cho trở thành: $t+\frac{2}{t}>3\Leftrightarrow t^{2}-3t+2>0$ (do $t>1$) $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t<1 \\ t>2 \end{array} \right.$.
Đối chiếu với $t>1$ ta lấy $t>2$. Khi đó $\log_{2}\left( 5^{x}+2 \right)>2\Leftrightarrow 5^{x}>2\Leftrightarrow x>\log_{5}2$.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left( \log_{5}2;+\infty \right)$.
Bất phương trình đã cho trở thành: $t+\frac{2}{t}>3\Leftrightarrow t^{2}-3t+2>0$ (do $t>1$) $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t<1 \\ t>2 \end{array} \right.$.
Đối chiếu với $t>1$ ta lấy $t>2$. Khi đó $\log_{2}\left( 5^{x}+2 \right)>2\Leftrightarrow 5^{x}>2\Leftrightarrow x>\log_{5}2$.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là $S=\left( \log_{5}2;+\infty \right)$.