Bài tập nâng cao · Bài 26
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 26
Tìm giá trị nguyên dương của $m$ để bất phương trình $9^{m^{2}x}+4^{m^{2}x}\geq m\cdot 5^{m^{2}x}$ có nghiệm.
Xem lời giải
Lời giải
Từ giả thiết, ta chỉ xét $m\in \mathbb{Z}^{+}$.
Ta có $9^{m^{2}x}+4^{m^{2}x}\geq m\cdot 5^{m^{2}x}\Leftrightarrow \left( \frac{9}{5} \right)^{m^{2}x}+\left( \frac{4}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m$. (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $\left( \frac{9}{5} \right)^{m^{2}x}+\left( \frac{4}{5} \right)^{m^{2}x}\geq 2\sqrt{\left( \frac{9}{5} \right)^{m^{2}x}\cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{m^{2}x}}=2\left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}$.
Do đó nếu có $x_{0}$ là nghiệm của bất phương trình $2\left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m$ thì $x_{0}$ cũng là nghiệm của
$\left( \frac{9}{5} \right)^{m^{2}x}+\left( \frac{4}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m$ Ta xét các giá trị $m\in \mathbb{Z}^{+}$ làm cho bất phương trình $2\left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m$ (2) có nghiệm.
Ta có $2\left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m\Leftrightarrow \left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}\geq \frac{m}{2},m\in \mathbb{Z}^{+}\Leftrightarrow m^{2}x\geq \log_{\frac{6}{5}}\left( \frac{m}{2} \right),m\in \mathbb{Z}^{+}$
$\Leftrightarrow x\geq \frac{1}{m^{2}}\log_{\frac{6}{5}}\left( \frac{m}{2} \right)$, với $m\in \mathbb{Z}^{+}$.
Vậy với mọi $m\in \mathbb{Z}^{+}$ thì bất phương trình (2) có nghiệm tương ứng là $x\geq \frac{1}{m^{2}}\log_{\frac{6}{5}}\left( \frac{m}{2} \right)$.
Ta có $9^{m^{2}x}+4^{m^{2}x}\geq m\cdot 5^{m^{2}x}\Leftrightarrow \left( \frac{9}{5} \right)^{m^{2}x}+\left( \frac{4}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m$. (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $\left( \frac{9}{5} \right)^{m^{2}x}+\left( \frac{4}{5} \right)^{m^{2}x}\geq 2\sqrt{\left( \frac{9}{5} \right)^{m^{2}x}\cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{m^{2}x}}=2\left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}$.
Do đó nếu có $x_{0}$ là nghiệm của bất phương trình $2\left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m$ thì $x_{0}$ cũng là nghiệm của
$\left( \frac{9}{5} \right)^{m^{2}x}+\left( \frac{4}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m$ Ta xét các giá trị $m\in \mathbb{Z}^{+}$ làm cho bất phương trình $2\left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m$ (2) có nghiệm.
Ta có $2\left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}\geq m\Leftrightarrow \left( \frac{6}{5} \right)^{m^{2}x}\geq \frac{m}{2},m\in \mathbb{Z}^{+}\Leftrightarrow m^{2}x\geq \log_{\frac{6}{5}}\left( \frac{m}{2} \right),m\in \mathbb{Z}^{+}$
$\Leftrightarrow x\geq \frac{1}{m^{2}}\log_{\frac{6}{5}}\left( \frac{m}{2} \right)$, với $m\in \mathbb{Z}^{+}$.
Vậy với mọi $m\in \mathbb{Z}^{+}$ thì bất phương trình (2) có nghiệm tương ứng là $x\geq \frac{1}{m^{2}}\log_{\frac{6}{5}}\left( \frac{m}{2} \right)$.