Bài tập nâng cao · Bài 25
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 25
Tập nghiệm của bất phương trình $3^{x^{2}-9}+\left( x^{2}-9 \right)\cdot 5^{x+1}<1$ là khoảng $(a;b)$. Tính $b-a$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $3^{x^{2}-9}+\left( x^{2}-9 \right)\cdot 5^{x+1}<1$. (1)
Nhận xét $5^{x+1}>0\forall x$. Xét $x^{2}-9=0,VT(1)=3^{0}+0=1$ (loại).
Xét $x^{2}-9>0\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3^{x^{2}-9}>3^{0}=1 \\ \left( x^{2}-9 \right)\cdot 5^{x+1}>0 \end{array} \right.\Rightarrow VT(1)>1$ (loại).
Xét $x^{2}-9<0\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3^{x^{2}-9}<3^{0}=1 \\ \left( x^{2}-9 \right)\cdot 5^{x+1}<0 \end{array} \right.\Rightarrow VT(1)<1$ luôn đúng.
Mặt khác $x^{2}-9<0\Leftrightarrow x\in (-3;3)\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $(-3;3)\Rightarrow b-a=6$.
Nhận xét $5^{x+1}>0\forall x$. Xét $x^{2}-9=0,VT(1)=3^{0}+0=1$ (loại).
Xét $x^{2}-9>0\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3^{x^{2}-9}>3^{0}=1 \\ \left( x^{2}-9 \right)\cdot 5^{x+1}>0 \end{array} \right.\Rightarrow VT(1)>1$ (loại).
Xét $x^{2}-9<0\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3^{x^{2}-9}<3^{0}=1 \\ \left( x^{2}-9 \right)\cdot 5^{x+1}<0 \end{array} \right.\Rightarrow VT(1)<1$ luôn đúng.
Mặt khác $x^{2}-9<0\Leftrightarrow x\in (-3;3)\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là $(-3;3)\Rightarrow b-a=6$.