Bài tập nâng cao · Bài 12

DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp giải: áp dụng định lý $\left\{ \begin{array}{l} a\cap b=I \\ a,\,b\subset\left( \alpha \right) \\ a\parallel\left( \beta \right),\,b\parallel\left( \beta \right) \end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)$ Nhận xét: Thực chất của việc chứng minh 2 mặt phẳng song song là tìm 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng này song song với 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia. Vậy: $\left\{ \begin{array}{l} a\subset\left( \alpha \right),\,b\subset\left( \alpha \right) \\ a\not\subset\left( \beta \right),\,b\not\subset\left( \beta \right) \\ a\cap b=I \\ c\subset\left( \beta \right),\,d\subset\left( \beta \right) \\ a\parallel c,\,b\parallel d \end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)$ Chứng minh 2 mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng khác. $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\parallel\left( \gamma \right) \\ \left( \beta \right)\parallel\left( \gamma \right) \\ \left( \alpha \right)\neq \left( \beta \right) \end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)$

Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 12

Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy các điểm

sao cho $AM=BN$. Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ

lần lượt cắt $AD$ và $AF$ tại

và

. Chứng minh:
a)

.
b) $\left( DEF \right)\parallel\left( MM'N'N \right)$.

Xem lời giải

Lời giải

a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l} AD\parallel BC \\ BC\subset\left( BCE \right) \end{array} \right.\Rightarrow AD\parallel\left( BCE \right)$
Tương tự $\left\{ \begin{array}{l} AF\parallel BE \\ BE\subset\left( BCE \right) \end{array} \right.\Rightarrow AF\parallel\left( BCE \right)$.
Mà $\left\{ \begin{array}{l} AD\subset\left( ADF \right) \\ AF\subset\left( ADF \right) \end{array} \right.\Rightarrow \left( ADF \right)\parallel\left( BCE \right)$.
b) Vì $ABCD$ và $\left( ABEF \right)$ là các hình vuông nên $AC=BF\,\left( 1 \right)$.
Ta có $MM'\parallel CD\Rightarrow \frac{AM'}{AD}=\frac{AM}{AC}\,\left( 2 \right)$
$NN'\parallel AB\Rightarrow \frac{AN'}{AF}=\frac{BN}{BF}\,\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta được $\frac{AM'}{AD}=\frac{AN'}{AF}\Rightarrow M'N'\parallel DF$

Lại có $NN'\parallel AB\Rightarrow NN'\parallel EF\Rightarrow EF\parallel\left( MM'N'N \right)$.
Vậy $\left\{ \begin{array}{l} DF\parallel\left( MM'N'N \right) \\ EF\parallel\left( MM'N'N \right) \end{array} \right.\Rightarrow \left( DEF \right)\parallel\left( MM'N'N \right)$.