Bài tập nâng cao · Bài 11

DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp giải: áp dụng định lý $\left\{ \begin{array}{l} a\cap b=I \\ a,\,b\subset\left( \alpha \right) \\ a\parallel\left( \beta \right),\,b\parallel\left( \beta \right) \end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)$ Nhận xét: Thực chất của việc chứng minh 2 mặt phẳng song song là tìm 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng này song song với 2 đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia. Vậy: $\left\{ \begin{array}{l} a\subset\left( \alpha \right),\,b\subset\left( \alpha \right) \\ a\not\subset\left( \beta \right),\,b\not\subset\left( \beta \right) \\ a\cap b=I \\ c\subset\left( \beta \right),\,d\subset\left( \beta \right) \\ a\parallel c,\,b\parallel d \end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)$ Chứng minh 2 mặt phẳng đó cùng song song với mặt phẳng khác. $\left\{ \begin{array}{l} \left( \alpha \right)\parallel\left( \gamma \right) \\ \left( \beta \right)\parallel\left( \gamma \right) \\ \left( \alpha \right)\neq \left( \beta \right) \end{array} \right.\Rightarrow \left( \alpha \right)\parallel\left( \beta \right)$

Bài tập nâng cao Hai mặt phẳng song song · Bài 11

Cho hình chóp $S.ABC$ có $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$, $SC$.
a) Chứng minh

.
b) Gọi $H$, $G$, $L$ lần lượt là trọng tâm tam giác $SAB$, $SAC$, $SBC$. Chứng minh

.

Xem lời giải

Lời giải

a) Ta có: $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên

.
$\left\{ \begin{array}{l} MN\parallel AB \\ MN\not\subset\left( ABC \right) \\ AB\subset\left( ABC \right) \end{array} \right.\Rightarrow MN\parallel(ABC)\,(1)$
Tương tự $MP$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên

.
$\left\{ \begin{array}{l} MP\parallel AC \\ MP\not\subset\left( ABC \right) \\ AC\subset\left( ABC \right) \end{array} \right.\Rightarrow MP\parallel(ABC)\,(2)$

trong

$\left( 3 \right)$
Từ

suy ra

.
b) Gọi $I$, $J$, $K$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$, $BC$. Khi đó ta có:
*

( vì trong tam giác $SIJ$ có $\frac{SH}{SI}=\frac{SG}{SJ}=\frac{2}{3}$) và $IJ\subset\left( ABC \right),HG\not\subset\left( ABC \right)$
Do đó $HG\,\parallel\left( ABC \right)$ (4)
*

( vì trong tam giác $SIK$ có $\frac{SH}{SI}=\frac{SL}{SK}=\frac{2}{3}$) và $IK\subset\left( ABC \right),HL\not\subset\left( ABC \right)$
Do đó $HL\,\parallel\,\left( ABC \right)$ (5)
$HG\cap HL=H$ trong $\left( HGL \right)$ $\left( 6 \right)$
Từ $\left( 4 \right)$, $\left( 5 \right)$, $\left( 6 \right)$ suy ra $\left( HGL \right)\parallel\left( ABC \right)$
Mà

nên $\left( HGL \right)\parallel\left( MNP \right)$ (đpcm).