Bài tập nâng cao · Bài 39
Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến – phương tích
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 39
Lập phương trình đường tròn đi qua điểm $A(4;2)$ và tiếp xúc với hai đường thẳng $(d_1):x-3y-2=0$ và $(d_2):x-3y+18=0$.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Gọi phương trình đường tròn $(C)$ là $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2\ (a,b,R\in\mathbb R,R>0)$.
Vì $A\in(C)$ nên ta có: $(4-a)^2+(2-b)^2=R^2$ (1).
$(d_1)$ tiếp xúc với $(C)$ nên ta có: $\dfrac{|a-3b-2|}{\sqrt{1+(-3)^2}}=R$ (2).
$(d_2)$ tiếp xúc với $(C)$ nên ta có: $\dfrac{|a-3b+18|}{\sqrt{1+(-3)^2}}=R$ (3).
Từ (2) và (3) suy ra:
$|a-3b-2|=|a-3b+18|\Leftrightarrow\begin{bmatrix}a-3b-2=a-3b+18\\a-3b-2=-(a-3b+18)\end{bmatrix}\Leftrightarrow a-3b=-8$ (4).
Thay (4) vào (2), ta có $R=\sqrt{10}$. Từ (4) suy ra $a=3b-8$, thay vào (1) ta có:
$(4-3b+8)^2+(2-b)^2=10\Leftrightarrow(12-3b)^2+(2-b)^2=10\Leftrightarrow10b^2-76b+138=0$.
$\Leftrightarrow\begin{bmatrix}b=3\Rightarrow a=1\\b=\dfrac{23}{5}\Rightarrow a=\dfrac{29}{5}\end{bmatrix}$.
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là $(x-1)^2+(y-3)^2=10$ và $\left(x-\dfrac{29}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{23}{5}\right)^2=10$.
Cách 2:
Dễ thấy $(d_1)\parallel(d_2)$ nên đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ có đường kính là khoảng cách giữa hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$, tâm của đường tròn này nằm trên đường thẳng $(d)$ cách đều $(d_1)$ và $(d_2)$.
Khoảng cách giữa đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ là $2R=\dfrac{|2+18|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=2\sqrt{10}\Rightarrow R=\sqrt{10}$.
Gọi $(d):x-3y+m=0$ là đường thẳng qua tâm $I$ của đường tròn và cách đều $(d_1)$, $(d_2)$.
Lấy $B\left(0;-\dfrac23\right)\in(d_1)$ và $C(0;6)\in(d_2)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Suy ra $M\left(0;\dfrac83\right)\in(d)\Rightarrow(d):x-3y+8=0$.
Do $I\in d$, giả sử $I(3a-8,a)$. Ta có $AI=R\Leftrightarrow\sqrt{(3a-12)^2+(a-2)^2}=\sqrt{10}$.
$\Leftrightarrow(3a-12)^2+(a-2)^2=10\Leftrightarrow10a^2-76a+138=0\Leftrightarrow\begin{bmatrix}a=3\Rightarrow I(1;3)\\a=\dfrac{23}{5}\Rightarrow I\left(\dfrac{29}{5};\dfrac{23}{5}\right)\end{bmatrix}$.
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là $(x-1)^2+(y-3)^2=10$ và $\left(x-\dfrac{29}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{23}{5}\right)^2=10$.
Gọi phương trình đường tròn $(C)$ là $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2\ (a,b,R\in\mathbb R,R>0)$.
Vì $A\in(C)$ nên ta có: $(4-a)^2+(2-b)^2=R^2$ (1).
$(d_1)$ tiếp xúc với $(C)$ nên ta có: $\dfrac{|a-3b-2|}{\sqrt{1+(-3)^2}}=R$ (2).
$(d_2)$ tiếp xúc với $(C)$ nên ta có: $\dfrac{|a-3b+18|}{\sqrt{1+(-3)^2}}=R$ (3).
Từ (2) và (3) suy ra:
$|a-3b-2|=|a-3b+18|\Leftrightarrow\begin{bmatrix}a-3b-2=a-3b+18\\a-3b-2=-(a-3b+18)\end{bmatrix}\Leftrightarrow a-3b=-8$ (4).
Thay (4) vào (2), ta có $R=\sqrt{10}$. Từ (4) suy ra $a=3b-8$, thay vào (1) ta có:
$(4-3b+8)^2+(2-b)^2=10\Leftrightarrow(12-3b)^2+(2-b)^2=10\Leftrightarrow10b^2-76b+138=0$.
$\Leftrightarrow\begin{bmatrix}b=3\Rightarrow a=1\\b=\dfrac{23}{5}\Rightarrow a=\dfrac{29}{5}\end{bmatrix}$.
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là $(x-1)^2+(y-3)^2=10$ và $\left(x-\dfrac{29}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{23}{5}\right)^2=10$.
Cách 2:
Dễ thấy $(d_1)\parallel(d_2)$ nên đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ có đường kính là khoảng cách giữa hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$, tâm của đường tròn này nằm trên đường thẳng $(d)$ cách đều $(d_1)$ và $(d_2)$.
Khoảng cách giữa đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ là $2R=\dfrac{|2+18|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}=2\sqrt{10}\Rightarrow R=\sqrt{10}$.
Gọi $(d):x-3y+m=0$ là đường thẳng qua tâm $I$ của đường tròn và cách đều $(d_1)$, $(d_2)$.
Lấy $B\left(0;-\dfrac23\right)\in(d_1)$ và $C(0;6)\in(d_2)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Suy ra $M\left(0;\dfrac83\right)\in(d)\Rightarrow(d):x-3y+8=0$.
Do $I\in d$, giả sử $I(3a-8,a)$. Ta có $AI=R\Leftrightarrow\sqrt{(3a-12)^2+(a-2)^2}=\sqrt{10}$.
$\Leftrightarrow(3a-12)^2+(a-2)^2=10\Leftrightarrow10a^2-76a+138=0\Leftrightarrow\begin{bmatrix}a=3\Rightarrow I(1;3)\\a=\dfrac{23}{5}\Rightarrow I\left(\dfrac{29}{5};\dfrac{23}{5}\right)\end{bmatrix}$.
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn là $(x-1)^2+(y-3)^2=10$ và $\left(x-\dfrac{29}{5}\right)^2+\left(y-\dfrac{23}{5}\right)^2=10$.