Bài tập nâng cao · Bài 40
Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến – phương tích
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 40
Trong mặt phẳng Oxy, cho $(C):x^2+y^2-2x-2y-2=0$ và $M(3;5)$. Lập phương trình tiếp tuyến của $(C)$ đi qua điểm $M$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $(C)$ có tâm $I(1;1)$ và bán kính $R=2$.
Ta có $IM=\sqrt{(3-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5>R$. Do đó qua $M$ có hai tiếp tuyến đến $(C)$.
Cách 1: Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$ và tiếp xúc với $(C)$.
Gọi $\vec n=(a;b)\neq\vec0$ là VTPT của đường thẳng $\Delta$.
$\Delta:a(x-3)+b(y-5)=0\Leftrightarrow ax+by-3a-5b=0$.
$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)\Leftrightarrow d(I;\Delta)=R\Leftrightarrow\dfrac{|a+b-3a-5b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$.
$\Leftrightarrow|-2a-4b|=2\sqrt{a^2+b^2}\Leftrightarrow3b^2+4ab=0\Leftrightarrow\begin{bmatrix}b=0\\b=-\dfrac{4a}{3}\end{bmatrix}$.
-Với $b=0$ chọn $a=1\Rightarrow\vec n=(1;0)\Rightarrow\Delta_1:1(x-3)+0(y-5)=0\Leftrightarrow x=3$.
-Với $b=-\dfrac{4a}{3}$ chọn $a=3\Rightarrow b=-4\Rightarrow\vec n=(3;-4)\Rightarrow\Delta_2:3x-4y+11=0$.
Cách 2: Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$ và tiếp xúc với $(C)$.
TH1: $\Delta$ có hệ số góc $k$ có phương trình $y=k(x-3)+5\Leftrightarrow kx-y+5-3k=0$.
$\Delta$ tiếp xúc với $(C)\Leftrightarrow d(I;\Delta)=R\Leftrightarrow\dfrac{|k-1+5-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=2\Leftrightarrow k=\dfrac34$.
Vậy tiếp tuyến $\Delta_1:y=\dfrac34(x-3)+5\Leftrightarrow3x-4y+11=0$.
TH2: $\Delta_2:x=3$ đi qua $M(3;5)$.
Ta có $d(I;\Delta_2)=\dfrac{|1-3|}{\sqrt{1^2+0}}=2=R$. Do đó $\Delta_2:x=3$ đi qua $M$ và là tiếp tuyến của $(C)$.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Delta_1:3x-4y+11=0$ và $\Delta_2:x=3$.
Ta có $IM=\sqrt{(3-1)^2+(5-1)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5>R$. Do đó qua $M$ có hai tiếp tuyến đến $(C)$.
Cách 1: Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$ và tiếp xúc với $(C)$.
Gọi $\vec n=(a;b)\neq\vec0$ là VTPT của đường thẳng $\Delta$.
$\Delta:a(x-3)+b(y-5)=0\Leftrightarrow ax+by-3a-5b=0$.
$\Delta$ là tiếp tuyến của $(C)\Leftrightarrow d(I;\Delta)=R\Leftrightarrow\dfrac{|a+b-3a-5b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=2$.
$\Leftrightarrow|-2a-4b|=2\sqrt{a^2+b^2}\Leftrightarrow3b^2+4ab=0\Leftrightarrow\begin{bmatrix}b=0\\b=-\dfrac{4a}{3}\end{bmatrix}$.
-Với $b=0$ chọn $a=1\Rightarrow\vec n=(1;0)\Rightarrow\Delta_1:1(x-3)+0(y-5)=0\Leftrightarrow x=3$.
-Với $b=-\dfrac{4a}{3}$ chọn $a=3\Rightarrow b=-4\Rightarrow\vec n=(3;-4)\Rightarrow\Delta_2:3x-4y+11=0$.
Cách 2: Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$ và tiếp xúc với $(C)$.
TH1: $\Delta$ có hệ số góc $k$ có phương trình $y=k(x-3)+5\Leftrightarrow kx-y+5-3k=0$.
$\Delta$ tiếp xúc với $(C)\Leftrightarrow d(I;\Delta)=R\Leftrightarrow\dfrac{|k-1+5-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=2\Leftrightarrow k=\dfrac34$.
Vậy tiếp tuyến $\Delta_1:y=\dfrac34(x-3)+5\Leftrightarrow3x-4y+11=0$.
TH2: $\Delta_2:x=3$ đi qua $M(3;5)$.
Ta có $d(I;\Delta_2)=\dfrac{|1-3|}{\sqrt{1^2+0}}=2=R$. Do đó $\Delta_2:x=3$ đi qua $M$ và là tiếp tuyến của $(C)$.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán $\Delta_1:3x-4y+11=0$ và $\Delta_2:x=3$.