Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 21
Cho các số thực $a,\,b,\,c$ thuộc khoảng $\left( 1;+\infty \right)$ và $\log_{\sqrt{a}}^{2}b+\log_{b}c.\log_{b}\left( \frac{c^{2}}{b} \right)+9\log_{a}c=4\log_{a}b.$ Giá trị của biểu thức $\log_{a}b+\log_{b}c^{2}$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $\log_{a}b=x,\,\,\log_{b}c=y\,\,\,\Rightarrow \log_{a}c=xy.$ Điều kiện: $x,\,\,y\,>0.$
Bài toán trở thành:
Cho $4x^{2}+y(2y-1)+9xy-4x=0.$ Tính $P=x+2y.$
Rút $x=P-2y$ thay vào giả thiết, ta có:
$\begin{array}{l} 4\left( P-2y \right)^{2}+y(2y-1)+9\left( P-2y \right)y-4\left( P-2y \right)=0 \\ \Leftrightarrow 4P^{2}-7Py-4P+7y=0. \\ \Leftrightarrow \left( P-1 \right)\left( 4P-7y \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} P=1 \\ 4P-7y=0 \end{array} \right. \end{array}$
Xét TH: $4P-7y=0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,4x+y=0,$ loại vì $x,\,\,y>0$.
Vậy $P=1$.
Bài toán trở thành:
Cho $4x^{2}+y(2y-1)+9xy-4x=0.$ Tính $P=x+2y.$
Rút $x=P-2y$ thay vào giả thiết, ta có:
$\begin{array}{l} 4\left( P-2y \right)^{2}+y(2y-1)+9\left( P-2y \right)y-4\left( P-2y \right)=0 \\ \Leftrightarrow 4P^{2}-7Py-4P+7y=0. \\ \Leftrightarrow \left( P-1 \right)\left( 4P-7y \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} P=1 \\ 4P-7y=0 \end{array} \right. \end{array}$
Xét TH: $4P-7y=0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,4x+y=0,$ loại vì $x,\,\,y>0$.
Vậy $P=1$.