Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 20
Tổng $S=1+2^{2}\log_{\sqrt{2}}2+3^{2}\log_{\sqrt[3]{2}}2+....+2018^{2}\log_{\sqrt[2018]{2}}2$ dưới đây.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\frac{\left( n\left( n+1 \right) \right)^{2}}{4}$.
Mặt khác
$S=1+2^{2}\log_{\sqrt{2}}2+3^{2}\log_{\sqrt[3]{2}}2+....+2018^{2}\log_{\sqrt[2018]{2}}2=1+2^{2}\log_{2^{\frac{1}{2}}}2+3^{2}\log_{2^{\frac{1}{3}}}2+....+2018^{2}\log_{2^{\frac{1}{2018}}}2=1+2^{3}\log_{2}2+3^{3}\log_{2}2+....+2018^{3}\log_{2}2=1+2^{3}+3^{3}+...+2018^{3}=\left[ \frac{2018\left( 2018+1 \right)}{2} \right]^{2}=1009^{2}.2019^{2}$.
Mặt khác
$S=1+2^{2}\log_{\sqrt{2}}2+3^{2}\log_{\sqrt[3]{2}}2+....+2018^{2}\log_{\sqrt[2018]{2}}2=1+2^{2}\log_{2^{\frac{1}{2}}}2+3^{2}\log_{2^{\frac{1}{3}}}2+....+2018^{2}\log_{2^{\frac{1}{2018}}}2=1+2^{3}\log_{2}2+3^{3}\log_{2}2+....+2018^{3}\log_{2}2=1+2^{3}+3^{3}+...+2018^{3}=\left[ \frac{2018\left( 2018+1 \right)}{2} \right]^{2}=1009^{2}.2019^{2}$.