Bài tập nâng cao · Bài 1
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 1
[2D3-0.0-4]Cho parabol $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } $và một đường thẳng $ d $ thay đổi cắt $ \left ( { P } \right ) $ tại hai điểm $ A $, $ B $ sao cho $ AB=2018 $. Gọi $ S $ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $ \left ( { P } \right ) $ và đường thẳng $ d $. Tìm giá trị lớn nhất $ S_{ max } $ của $ S. $
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử $ A(a;\,a ^ { 2 } ) $; $ B(b;\,b ^ { 2 } )\,(b>a) $ sao cho $ AB=2018 $.
Phương trình đường thẳng $ d $ là: $ y=(a+b)x-ab $. Khi đó
$ S=\int _{ a }^{ b } { \left | { (a+b)x-ab-x ^ { 2 } } \right |{ \rm{ d } }x }=\int _{ a }^{ b } { \left ( { \left ( { a+b } \right )x-ab-x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 6 }\left ( { b-a } \right ) ^ { 3 } $.
Vì $ AB=2018\Leftrightarrow \left ( { b-a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b ^ { 2 } -a ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } =2018 ^ { 2 } \Leftrightarrow \left ( { b-a } \right ) ^ { 2 } \left ( { 1+\left ( { b+a } \right ) ^ { 2 } } \right )=2018 ^ { 2 } $.
$ \Rightarrow \left ( { b-a } \right ) ^ { 2 } \leq 2018 ^ { 2 } $$ \Rightarrow \left | { b-a } \right |=b-a\leq 2018\Rightarrow S\leq \frac { 2018 ^ { 3 } } { 6 } $. Vậy $ S_{ max } =\frac { 2018 ^ { 3 } } { 6 } $ khi $ a=-1009 $ và $ b=1009 $.
Phương trình đường thẳng $ d $ là: $ y=(a+b)x-ab $. Khi đó
$ S=\int _{ a }^{ b } { \left | { (a+b)x-ab-x ^ { 2 } } \right |{ \rm{ d } }x }=\int _{ a }^{ b } { \left ( { \left ( { a+b } \right )x-ab-x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 1 } { 6 }\left ( { b-a } \right ) ^ { 3 } $.
Vì $ AB=2018\Leftrightarrow \left ( { b-a } \right ) ^ { 2 } +\left ( { b ^ { 2 } -a ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } =2018 ^ { 2 } \Leftrightarrow \left ( { b-a } \right ) ^ { 2 } \left ( { 1+\left ( { b+a } \right ) ^ { 2 } } \right )=2018 ^ { 2 } $.
$ \Rightarrow \left ( { b-a } \right ) ^ { 2 } \leq 2018 ^ { 2 } $$ \Rightarrow \left | { b-a } \right |=b-a\leq 2018\Rightarrow S\leq \frac { 2018 ^ { 3 } } { 6 } $. Vậy $ S_{ max } =\frac { 2018 ^ { 3 } } { 6 } $ khi $ a=-1009 $ và $ b=1009 $.