Bài tập nâng cao · Bài 2
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 2
Đặt $ S $ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $ y=4-x ^ { 2 } $, trục hoành và đường thẳng $ x=-2 $, $ x=m $, $ \left ( { -2 < m < 2 } \right ) $. Tìm số giá trị của tham số $ m $ để $ S=\frac { 25 } { 3 } $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ S=\int _{ -2 }^{ m } { \left | { 4-x ^ { 2 } } \right |{ \rm{ d } }x }=\frac { 25 } { 3 } $.
Phương trình $ 4-x ^ { 2 } =0\Leftrightarrow x=±2 $.
Bài ra $ -2 < m < 2 $ nên trên $ \left ( { -2;m } \right ) $ thì $ 4-x ^ { 2 } =0 $ vô nghiệm.
$ \int _{ -2 }^{ m } { \left | { 4-x ^ { 2 } } \right |{ \rm{ d } }x }=\frac { 25 } { 3 }\Leftrightarrow \left | { \int _{ -2 }^{ m } { \left ( { 4-x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x } } \right |=\frac { 25 } { 3 }\Leftrightarrow \left | { \left ( { 4x-\frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right )\left | { ^ { m } \\ _{ -2 } } \right . } \right |=\frac { 25 } { 3 } $$ \Leftrightarrow \left | { \left ( { 4m-\frac { m ^ { 3 } } { 3 } } \right )-\left ( { -8+\frac { 8 } { 3 } } \right ) } \right |=\frac { 25 } { 3 }\Leftrightarrow \left | { 4m-\frac { m ^ { 3 } } { 3 }+\frac { 16 } { 3 } } \right |=\frac { 25 } { 3 } $
$\Leftrightarrow \begin{cases}4m-\dfrac{m^3}{3}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{25}{3}\\4m-\dfrac{m^3}{3}+\dfrac{16}{3}=-\dfrac{25}{3}\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac13m^3-4m+3=0\\\dfrac13m^3-4m-\dfrac{41}{3}=0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^3-12m+9=0\\m^3-12m-41=0\end{cases}\quad (1)$
Xét hàm số $ f\left ( { m } \right )=m ^ { 3 } -12m $, với $ m\in \left ( { -2;2 } \right ) $ có
$ f'\left ( { m } \right )=3m ^ { 2 } -12=3\left ( { m ^ { 2 } -4 } \right ) < 0 $, $ ∀m\in \left ( { -2;2 } \right ) $.
Do đó $ f\left ( { m } \right ) $ nghịch biến trên $ \left ( { -2;2 } \right )\Rightarrow f\left ( { m } \right ) < f\left ( { -2 } \right )=16\Rightarrow m ^ { 3 } -12m-41 < 0 $.
Khi đó $ \left ( { 1 } \right ) $$ \Leftrightarrow m ^ { 3 } -12m+9=0\Leftrightarrow \left ( { m-3 } \right )\left ( { m ^ { 2 } +3m-3 } \right )=0\Rightarrow m=\frac { \sqrt[] { 21 }-3 } { 2 } $ thỏa mãn.
Vậy chỉ có $ m=\frac { \sqrt[] { 21 }-3 } { 2 } $ thỏa mãn bài toán.
Phương trình $ 4-x ^ { 2 } =0\Leftrightarrow x=±2 $.
Bài ra $ -2 < m < 2 $ nên trên $ \left ( { -2;m } \right ) $ thì $ 4-x ^ { 2 } =0 $ vô nghiệm.
$ \int _{ -2 }^{ m } { \left | { 4-x ^ { 2 } } \right |{ \rm{ d } }x }=\frac { 25 } { 3 }\Leftrightarrow \left | { \int _{ -2 }^{ m } { \left ( { 4-x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x } } \right |=\frac { 25 } { 3 }\Leftrightarrow \left | { \left ( { 4x-\frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right )\left | { ^ { m } \\ _{ -2 } } \right . } \right |=\frac { 25 } { 3 } $$ \Leftrightarrow \left | { \left ( { 4m-\frac { m ^ { 3 } } { 3 } } \right )-\left ( { -8+\frac { 8 } { 3 } } \right ) } \right |=\frac { 25 } { 3 }\Leftrightarrow \left | { 4m-\frac { m ^ { 3 } } { 3 }+\frac { 16 } { 3 } } \right |=\frac { 25 } { 3 } $
$\Leftrightarrow \begin{cases}4m-\dfrac{m^3}{3}+\dfrac{16}{3}=\dfrac{25}{3}\\4m-\dfrac{m^3}{3}+\dfrac{16}{3}=-\dfrac{25}{3}\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac13m^3-4m+3=0\\\dfrac13m^3-4m-\dfrac{41}{3}=0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}m^3-12m+9=0\\m^3-12m-41=0\end{cases}\quad (1)$
Xét hàm số $ f\left ( { m } \right )=m ^ { 3 } -12m $, với $ m\in \left ( { -2;2 } \right ) $ có
$ f'\left ( { m } \right )=3m ^ { 2 } -12=3\left ( { m ^ { 2 } -4 } \right ) < 0 $, $ ∀m\in \left ( { -2;2 } \right ) $.
Do đó $ f\left ( { m } \right ) $ nghịch biến trên $ \left ( { -2;2 } \right )\Rightarrow f\left ( { m } \right ) < f\left ( { -2 } \right )=16\Rightarrow m ^ { 3 } -12m-41 < 0 $.
Khi đó $ \left ( { 1 } \right ) $$ \Leftrightarrow m ^ { 3 } -12m+9=0\Leftrightarrow \left ( { m-3 } \right )\left ( { m ^ { 2 } +3m-3 } \right )=0\Rightarrow m=\frac { \sqrt[] { 21 }-3 } { 2 } $ thỏa mãn.
Vậy chỉ có $ m=\frac { \sqrt[] { 21 }-3 } { 2 } $ thỏa mãn bài toán.