Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 3
Trong hệ trục tọa độ $ Oxy $, cho parabol $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } $ và hai đường thẳng $ y=a $, $ y=b $ $ \left ( { 0 < a < b } \right ) $ (hình vẽ). Gọi $ S_{ 1 } $ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $ \left ( { P } \right ) $ và đường thẳng $ y=a $ (phần tô đen); $ \left ( { S_{ 2 } } \right ) $ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $ \left ( { P } \right ) $ và đường thẳng $ y=b $ (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của $ a $ và $ b $ thì $ S_{ 1 } =S_{ 2 } $?
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } $ với đường thẳng $ y=b $ là
$ x ^ { 2 } =b\Leftrightarrow x=±\sqrt[] { b } $.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } $ với đường thẳng $ y=a $ là
$ x ^ { 2 } =a\Leftrightarrow x=±\sqrt[] { a } $.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } $ và đường thẳng $ y=b $ là
$ S=2\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { b } } { \left ( { b-x ^ { 2 } } \right )dx } $$ =\left | { 2\left ( { bx-\frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { b } } $$ =2\left ( { b\sqrt[] { b }-\frac { b\sqrt[] { b } } { 3 } } \right ) $$ =\frac { 4b\sqrt[] { b } } { 3 } $.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $ \left ( { P } \right ):y=x ^ { 2 } $ và đường thẳng $ y=a $(phần tô màu đen) là $ S_{ 1 } =2\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { a } } { \left ( { a-x ^ { 2 } } \right )dx } $$ =\left | { 2\left ( { ax-\frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { a } } $$ =2\left ( { a\sqrt[] { a }-\frac { a\sqrt[] { a } } { 3 } } \right ) $$ =\frac { 4a\sqrt[] { a } } { 3 } $.
Do đó $ S=2S_{ 1 } $$ \Leftrightarrow \frac { 4b\sqrt[] { b } } { 3 }=2.\frac { 4a\sqrt[] { a } } { 3 } $$ \Leftrightarrow \left ( { \sqrt[] { b } } \right ) ^ { 3 } =2\left ( { \sqrt[] { a } } \right ) ^ { 3 } $$ \Leftrightarrow \sqrt[] { b }=\sqrt[3] { 2 }\sqrt[] { a } $$ \Leftrightarrow b=\sqrt[3] { 4 }a $.
