Bài tập nâng cao · Bài 4
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 4
Cho hai hàm số $ f\left ( { x } \right )=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx-\frac { 1 } { 2 } $ và $ g\left ( { x } \right )=dx ^ { 2 } +ex+1 $ $ \left ( { a,b,c,d,e\in \mathbb{R} } \right ) $. Biết rằng đồ thị của hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ và $ y=g\left ( { x } \right ) $ cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là $ -3 $; $ -1 $; $ 1 $ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
Xem lời giải
Lời giải
Diện tích hình phẳng cần tìm là
$ S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left[ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ g\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } $$ =\int _{ -3 }^{ -1 } { \left[ ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-e } \right )x-\frac { 3 } { 2 } \right]{ \rm{ d } }x }-\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-e } \right )x-\frac { 3 } { 2 } \right]{ \rm{ d } }x } $.
Trong đó phương trình $ ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-e } \right )x-\frac { 3 } { 2 }=0 $ $ \left ( { * } \right ) $ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ và $ y=g\left ( { x } \right ) $.
Phương trình $ \left ( { * } \right ) $ có nghiệm $ -3 $; $ -1 $; $ 1 $ nên
$ \left \{ \begin{array}{l} -27a+9\left ( { b-d } \right )-3\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \\ -a+\left ( { b-d } \right )-\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \\ a+\left ( { b-d } \right )+\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} -27a+9\left ( { b-d } \right )-3\left ( { c-e } \right )=\frac { 3 } { 2 } \\ -a+\left ( { b-d } \right )-\left ( { c-e } \right )=\frac { 3 } { 2 } \\ a+\left ( { b-d } \right )+\left ( { c-e } \right )=\frac { 3 } { 2 } \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 1 } { 2 } \\ \left ( { b-d } \right )=\frac { 3 } { 2 } \\ \left ( { c-e } \right )=-\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $.
Vậy $ S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left[ \frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } \right]{ \rm{ d } }x }-\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ \frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } \right]{ \rm{ d } }x } $$ =2-\left ( { -2 } \right )=4 $.
$ S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left[ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ g\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } $$ =\int _{ -3 }^{ -1 } { \left[ ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-e } \right )x-\frac { 3 } { 2 } \right]{ \rm{ d } }x }-\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-e } \right )x-\frac { 3 } { 2 } \right]{ \rm{ d } }x } $.
Trong đó phương trình $ ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-e } \right )x-\frac { 3 } { 2 }=0 $ $ \left ( { * } \right ) $ là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ và $ y=g\left ( { x } \right ) $.
Phương trình $ \left ( { * } \right ) $ có nghiệm $ -3 $; $ -1 $; $ 1 $ nên
$ \left \{ \begin{array}{l} -27a+9\left ( { b-d } \right )-3\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \\ -a+\left ( { b-d } \right )-\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \\ a+\left ( { b-d } \right )+\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} -27a+9\left ( { b-d } \right )-3\left ( { c-e } \right )=\frac { 3 } { 2 } \\ -a+\left ( { b-d } \right )-\left ( { c-e } \right )=\frac { 3 } { 2 } \\ a+\left ( { b-d } \right )+\left ( { c-e } \right )=\frac { 3 } { 2 } \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 1 } { 2 } \\ \left ( { b-d } \right )=\frac { 3 } { 2 } \\ \left ( { c-e } \right )=-\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $.
Vậy $ S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left[ \frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } \right]{ \rm{ d } }x }-\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ \frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } \right]{ \rm{ d } }x } $$ =2-\left ( { -2 } \right )=4 $.