Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 5
Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng hình elip được chia ra làm bốn phần bởi hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục của elip như hình vẽ. Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là $ 8{ \rm{ } }{ \rm{ m } } $ và $ 4{ \rm{ } }{ \rm{ m } } $, $ F_{ 1 } $, $ F_{ 2 } $ lần lượt là hai tiêu điểm của elip. Phần $ A $, $ B $ dùng để trồng hoa, phần $ C $, $ D $ dùng để trồng cỏ. Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt là $ 250.000 $ đ và $ 150.{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 0 } }{ \rm{ 0 } } $ đ. Tính tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn).
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ S_{ A } $, $ S_{ B } $, $ S_{ C } $, $ S_{ D } $ lần lượt là diện tích các phần $ A $, $ B $, $ C $ và $ D $. Theo giả thiết ta được $ S_{ A } =S_{ B } $, $ S_{ C } =S_{ D } $.
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Khi đó elip $ \left ( { E } \right ) $ có dạng $ \left ( { E } \right ):\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }+\frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }=1,\left ( { 0 < b < a } \right ) $.
Theo bài $ 2a=8\Leftrightarrow a=4 $; $ 2b=4\Leftrightarrow b=2 $ suy ra phương trình của elip là $ \left ( { E } \right ):\frac { x ^ { 2 } } { 16 }+\frac { y ^ { 2 } } { 4 }=1 $ (1).
$ c=\sqrt[] { a ^ { 2 } -b ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 3 } $ suy ra $ F_{ 2 } \left ( { 2\sqrt[] { 3 };0 } \right ) $.
Gọi $ \left ( { P } \right ) $ là parabol nằm ở phần phía trên của trục $ Ox $, cắt $ \left ( { E } \right ) $ tại điểm $ M $ với hoành độ $ x_{ M } =2\sqrt[] { 3 } $ khi đó $ M\in \left ( { E } \right )\Rightarrow M\left ( { 2\sqrt[] { 3 };1 } \right ) $.
Theo giả thiết, parabol $ \left ( { P } \right ) $ có dạng $ y=m.x ^ { 2 } $. Do $ M\in \left ( { P } \right )\Rightarrow 1=12.m\Leftrightarrow m=\frac { 1 } { 12 } $.
Từ (1) ta được $ \frac { y ^ { 2 } } { 4 }=1-\frac { x ^ { 2 } } { 16 }\Leftrightarrow y=±\frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { 16-x ^ { 2 } } $.
Diện tích của phần $ A $ là $ S_{ A } =\int _{ -2\sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { \left ( { \frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { 16-x ^ { 2 } }-\frac { 1 } { 12 }x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }=\int _{ -2\sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { \frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { 16-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }-\frac { 1 } { 12 }\int _{ -2\sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { x ^ { 2 } { \rm{ d } }x } $ hay $ S_{ A } =I_{ 1 } -\frac { 1 } { 36 }\left | { x ^ { 3 } } \right ._{ -2\sqrt[] { 3 } } ^{ 2\sqrt[] { 3 } }=I_{ 1 } -\frac { 4\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
Với $ I_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ -2\sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 16-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } $. Đặt $ x=4sint\Rightarrow { \rm{ d } }x=4cost{ \rm{ d } }t $ với $ t\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right] $.
Đổi cận: Khi $ x=-2\sqrt[] { 3 } $ ta được $ t=-\frac { \pi } { 3 } $; khi $ x=2\sqrt[] { 3 } $ ta được $ t=\frac { \pi } { 3 } $.
Theo công thức đổi biến số, thì:
$ I_{ 1 } =\frac { 1 } { 2 }\int _{ -\frac { \pi } { 3 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \sqrt[] { 16-16sin ^ { 2 } x }.4cost{ \rm{ d } }t }=8\int _{ -\frac { \pi } { 3 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t } $
Hay $ I_{ 1 } =4\int _{ -\frac { \pi } { 3 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \left ( { 1+cos2t } \right ){ \rm{ d } }t }=4\left | { \left ( { t+\frac { 1 } { 2 }sin2t } \right ) } \right ._{ -\frac { \pi } { 3 } } ^{ \frac { \pi } { 3 } }=8\left ( { \frac { \pi } { 3 }+\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } } \right ) $.
Từ đó tìm được $ S_{ A } =\frac { 8\pi +2\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
Diện tích của $ \left ( { E } \right ) $ là $ S_{ \left ( { E } \right ) } =\pi ab=8\pi $.
Diện tích của phần $ C $ là $ S_{ C } =S_{ D } =\frac { S_{ \left ( { E } \right ) } -2S_{ A } } { 2 }=\frac { 4\pi -2\sqrt[] { 3 } } { 3 } $.
Số tiền cần sử dụng để hoàn thành khu vườn trên là:
$ \left ( { 2.S_{ A } } \right )×250{ \rm{ } }000+\left ( { 2.S_{ C } } \right )×150{ \rm{ } }000\approx 5{ \rm{ } }{ \rm{ 6 } }{ \rm{ 7 } }{ \rm{ 6 } }{ \rm{ } }{ \rm{ 3 } }{ \rm{ 6 } }{ \rm{ 7 } },372 $.
