Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 6

Giả sử $ \left ( { C } \right ):y=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d\,\left ( { a\neq 0 } \right ) $.
Vì $ \left ( { C } \right ) $ đi qua các điểm $ A\left ( { -1;-2 } \right ),\,B\left ( { 0\,;\,2 } \right ) $,$ C\left ( { 1\,;0 } \right ),\,D\left ( { 2\,;-2 } \right ) $,ta có hệ phương trình:
$ \left \{ \begin{array}{l} -a+b-c+d=-2 \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d=2 \\ a+b+c+d=0 \\ 8a+4b+2c+d=-2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-3 \\ c=0 \\ d=2 \end{array} \right.\Rightarrow \left ( { C } \right ):y=x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +2 $.
Giả sử $ \left ( { P } \right ):y=mx ^ { 2 } +nx+q\,\left ( { m\neq 0 } \right ) $.
Vì $ \left ( { P } \right ) $ đi qua các điểm $ A\left ( { -1;-2 } \right ),\,E\left ( { 1\,;\,0 } \right ) $,$ D\left ( { 2\,;-2 } \right ) $,ta có hệ phương trình:
$ \left \{ \begin{array}{l} \,\,\,\,\,m-n+q=-2 \\ \,\,\,\,\,m+n+q=0 \\ 4m+2n+q=-2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} m=-1 \\ n=1 \\ q=0 \end{array} \right.\Rightarrow \left ( { P } \right ):y=-x ^ { 2 } +x $.
Dựa vào đồ thị của $ \left ( { C } \right ) $ và$ \left ( { P } \right ) $,ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:
$ S_{ hp } =\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +2-\left ( { -x ^ { 2 } +x } \right ) \right] }dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ -x ^ { 2 } +x-\left ( { x ^ { 3 } -3x ^ { 2 } +2 } \right ) \right]dx }= \\ \,\,\,\,\,\,\,=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -x+2 \right] }dx+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left[ -x ^ { 3 } +2x ^ { 2 } +x-2 \right]dx }=\frac { 37 } { 12 }. $