Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 7

Gọi $ \left ( { C_{ 1 } } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =9∨\left ( { C_{ 2 } } \right ):\left ( { x-4 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } =4 $ là phương trình hai đường tròn biểu diễn phần ăn cỏ của 2 con bò.
Xét phần phía trên $ { \rm{ O } }{ \rm{ x } } $
$ \left ( { C_{ 1 } } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =9\Rightarrow y=\sqrt[] { 9-x ^ { 2 } } \\ \left ( { C_{ 2 } } \right ):\left ( { x-4 } \right ) ^ { 2 } +y ^ { 2 } =4\Rightarrow y=\sqrt[] { -x ^ { 2 } +8x-12 } $
Phương trình hoành độ giao điểm $ \sqrt[] { 9-x ^ { 2 } }=\sqrt[] { -x ^ { 2 } +8x-12 }\Leftrightarrow x=\frac { 21 } { 8 } $
Vậy $ S=2\left[ \int _{ 2 }^{ \frac { 21 } { 8 } } { \sqrt[] { 4-\left ( { x-4 } \right ) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x+\int _{ \frac { 21 } { 8 } }^{ 3 } { \sqrt[] { 9-x ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x \right] $
$ I=\int _{ \frac { 21 } { 8 } }^{ 3 } { \sqrt[] { 9-x ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x\mathop { = } \int _{ arcsin\frac { 7 } { 8 } }^{ \frac { \pi } { 6 } } { 9cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t }=9.\int _{ arcsin\frac { 7 } { 8 } }^{ \frac { \pi } { 6 } } { \frac { cos2t+1 } { 2 }{ \rm{ d } }t=\left | { 9\left ( { \frac { 1 } { 4 }sin2t+\frac { t } { 2 } } \right ) } \right . }_{ arcsin\frac { 7 } { 8 } } ^{ \frac { \pi } { 6 } }\approx 0,3679 $
$ J=\int _{ 2 }^{ \frac { 21 } { 8 } } { \sqrt[] { 4-\left ( { x-4 } \right ) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x\mathop { = } \int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ arcsin\left ( { -\frac { 11 } { 16 } } \right ) } { 4cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t }=4.\int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ arcsin\left ( { -\frac { 11 } { 16 } } \right ) } { \frac { cos2t+1 } { 2 }{ \rm{ d } }t=\left | { 4\left ( { \frac { 1 } { 4 }sin2t+\frac { t } { 2 } } \right ) } \right . }_{ -\frac { \pi } { 2 } } ^{ arcsin\left ( { -\frac { 11 } { 16 } } \right ) }\approx 0,627 $
$ \Rightarrow S\approx 1,9898 $.