Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 8

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới

Ta có parabol có phương trình: $ y=4-x ^ { 2 } $ và cung tròn $ \overset ⌢ { A_{ 1 } B_{ 1 } } $ có phương trình $ y=\sqrt[] { 4-x ^ { 2 } } $.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường cong là $ 4-x ^ { 2 } =\sqrt[] { 4-x ^ { 2 } }\Rightarrow x=±\sqrt[] { 3 } $ (không tính $ x=±2 $). Do đó $ A_{ 1 } \left ( { -\sqrt[] { 3 };\,\,1 } \right ) $ và $ B_{ 1 } \left ( { \sqrt[] { 3 };\,\,1 } \right ) $.
Từ đó suy ra đường thẳng $ OA_{ 1 } $ và $ OB_{ 1 } $ lần lượt có phương trình $ y=-\frac { x } { \sqrt[] { 3 } };\,\,y=\frac { x } { \sqrt[] { 3 } } $.
Diện phần gạch sọc (phần đầu) là $ S_{ 1 } =\int _{ -\sqrt[] { 3 } }^{ \sqrt[] { 3 } } { \left ( { 4-x ^ { 2 } -\sqrt[] { 4-x ^ { 2 } } } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Diện tích phần in đậm (phần giữa) là $ S_{ 2 } =\int _{ -\sqrt[] { 3 } }^{ 0 } { \left ( { \sqrt[] { 4-x ^ { 2 } }+\frac { x } { \sqrt[] { 3 } } } \right ){ \rm{ d } }x }+\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \left ( { \sqrt[] { 4-x ^ { 2 } }-\frac { x } { \sqrt[] { 3 } } } \right ){ \rm{ d } }x } $.
Diện tích phần còn lại là $ S_{ 3 } =\int _{ -2 }^{ 2 } { \left ( { 4-x ^ { 2 } } \right ){ \rm{ d } }x }-S_{ 1 } -S_{ 2 } $.
Do đó tổng tiền có công thức: $ T=140000.S_{ 1 } +150000.S_{ 2 } +160000.S_{ 3 } $.
Cách trắc nghiệm:
Casio cho kết quả: $ S_{ 1 } $ gán vào $ A $, $ S_{ 2 } $ gán vào $ B $, $ S_{ 3 } $ gán vào $ C $ thì tính được $ T\approx 1575349,488 $. Chọn C.
Cách tự luận:
Tính $ S_{ 1 } ,\,\,S_{ 2 } $: Đặt $ x=2sint,\,\,t\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\,\,\frac { \pi } { 2 } \right] $. Suy ra $ { \rm{ d } }x=2cost{ \rm{ d } }t $ và $ \sqrt[] { 4-x ^ { 2 } }=2\left | { cost } \right |=2cost $.
Đổi cận:
$ x=-\sqrt[] { 3 }\Rightarrow t=-\frac { \pi } { 3 }, \\ x=0\Rightarrow t=0, \\ x=\sqrt[] { 3 }\Rightarrow t=\frac { \pi } { 3 }. $
Khi đó
$ \\ S \\ _{ 1 } \\ = \\ \int _{ -\frac { \pi } { 3 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \left ( { 4cos ^ { 2 } t-2cost } \right )2cost{ \rm{ d } }t } \\ = \\ 2 \\ \int _{ -\frac { \pi } { 3 } }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \left ( { cos3t+3cost-1-cos2t } \right ){ \rm{ d } }t } =\left | { \frac { 2 } { 3 }sin3t+6sint-2t-sin2t } \right ._{ -\frac { \pi } { 3 } } ^{ \frac { \pi } { 3 } }=5\sqrt[] { 3 }-\frac { 4\pi } { 3 }. $
$ \\ S \\ _{ 2 } \\ = \\ \int _{ -\sqrt[] { 3 } }^{ \sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 4-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } \\ - \\ \int _{ -\sqrt[] { 3 } }^{ \sqrt[] { 3 } } { \left | { \frac { x } { \sqrt[] { 3 } } } \right |{ \rm{ d } }x } =2\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 4-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x }-2\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { x } { \sqrt[] { 3 } }{ \rm{ d } }x } =2\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { 2cost.2cost{ \rm{ d } }t }-\left | { \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt[] { 3 } } } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { 3 } } =4\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \left ( { 1+cos2t } \right ){ \rm{ d } }t }-\sqrt[] { 3 } =4\left | { \left ( { t+\frac { 1 } { 2 }sin2t } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 3 } }-\sqrt[] { 3 } =\frac { 4\pi } { 3 }. $
$ S_{ 3 } =\left | { \left ( { 4x-\frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ) } \right ._{ -2 } ^{ 2 }-5\sqrt[] { 3 }=\frac { 32 } { 3 }-5\sqrt[] { 3 } $.
Khi đó ta tính được $ T=140000.S_{ 1 } +150000.S_{ 2 } +160000.S_{ 3 } \approx 1575349,488 $.