Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 9

Chứng minh: Công thức tính diện tích elip $ \left ( { E } \right ):\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }+\frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }=1 $ (trục lớn $ 2a $, độ dài trục bé $ 2b $).
Gọi $ S_{ 1 } $ là diện tích của elip nằm ở góc phần tư thứ nhất$ \Rightarrow $$ S_{ 1 } =\int _{ 0 }^{ a } { b\sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x } $(đvdt).
Đặt $ \frac { x } { a }=sint $$ \Rightarrow $$ { \rm{ d } }x=acost{ \rm{ d } }t $; Đổi cận $ x=0 $$ \Rightarrow $$ t=0 $, $ x=a $$ \Rightarrow $$ t=\frac { \pi } { 2 } $.
Suy ra $ S_{ 1 } =b\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { a\sqrt[] { 1-sin ^ { 2 } t }cost{ \rm{ d } }t }=ab\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t }=\frac { ab } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \left ( { 1+cos2t } \right ){ \rm{ d } }t }=\frac { ab } { 2 }\left | { \left ( { t+\frac { 1 } { 2 }sin2t } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 2 } }=\frac { \pi ab } { 4 } $.
Vậy $ S_{ elip } =4S_{ 1 } =\pi ab $.
Áp dụng: Diện tích của nửa elip có độ dài một nửa trục lớn $ AB=6cm $, trục bé $ CD=8cm $ là $ \frac { 1 } { 2 }\pi .6.4=12\pi $$ \left ( { cm ^ { 2 } } \right ) $.
Diện tích bề mặt hoa văn đó là $ S=S_{ hinh\_vuong } -4S_{ nua\_elip } =20 ^ { 2 } -4.12\pi =400-48\pi $$ \left ( { cm ^ { 2 } } \right ) $.