Bài tập nâng cao · Bài 10
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 10
Gọi $ S_{ m } $ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $ y=x ^ { 2 } $ và đường thẳng $ y=mx+1 $. Giá trị nhỏ nhất của $ S_{ m } $ là
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành hoành độ giao điểm của parabol $ y=x ^ { 2 } $ và đường thẳng $ y=mx+1 $ là:
$ x ^ { 2 } =mx+1\Leftrightarrow x ^ { 2 } -mx-1=0 $. (*)
Ta có: $ \Delta _{ (*) } =m ^ { 2 } +4>0\,,\,∀m\in \mathbb{R}\Rightarrow $Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $ x_{ 1 } \,,\,x_{ 2 } \,\left ( { x_{ 1 } < x_{ 2 } } \right ) $.
Theo hệ thức Vi-et, ta có: $ x_{ 1 } +x_{ 2 } =m\,,\,x_{ 1 } x_{ 2 } =-1 $và $ \left | { x_{ 2 } -x_{ 1 } } \right |=\frac { \sqrt[] { \Delta } } { \left | { a } \right | }=\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 } $.
Ta có: $ S_{ m } =\int _{ x_{ 1 } }^{ x_{ 2 } } { \left | { x ^ { 2 } -mx-1 } \right |dx }=\left | { \int _{ x_{ 1 } }^{ x_{ 2 } } { \left ( { x ^ { 2 } -mx-1 } \right )dx } } \right |=\left | { \left | { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ._{ x_{ 1 } } ^{ x_{ 2 } }-\left | { \frac { mx ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ x_{ 1 } } ^{ x_{ 2 } }-\left | { x } \right ._{ x_{ 1 } } ^{ x_{ 2 } } } \right | $
$ =\left | { \frac { 1 } { 3 }\left ( { x_{ 2 } ^{ 3 }-x_{ 1 } ^{ 3 } } \right )-\frac { m } { 2 }.\left ( { x_{ 2 } ^{ 2 }-x_{ 1 } ^{ 2 } } \right )-\left ( { x_{ 2 } -x_{ 1 } } \right ) } \right |=\left | { x_{ 2 } -x_{ 1 } } \right |.\left | { \frac { 1 } { 3 }\left ( { x_{ 2 } ^{ 2 }+x_{ 1 } x_{ 2 } +x_{ 1 } ^{ 2 } } \right )-\frac { m } { 2 }.\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right )-1 } \right | $
$ =\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 }.\left | { \frac { 1 } { 3 }\left[ \left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right ) ^ { 2 } -x_{ 1 } x_{ 2 } \right]-\frac { m } { 2 }.\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right )-1 } \right |=\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 }.\left | { \frac { 1 } { 3 }\left ( { m ^ { 2 } +1 } \right )-\frac { m } { 2 }.m-1 } \right | $
$ =\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 }.\left | { -\frac { m ^ { 2 } +4 } { 6 } } \right |=\frac { 1 } { 6 }\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 }.\left ( { m ^ { 2 } +4 } \right )\geq \frac { 1 } { 6 }.2.4=\frac { 4 } { 3 } $.
Vậy $ S_{ m } $ nhỏ nhất bằng $ \frac { 4 } { 3 } $ khi $ m=0 $.
$ x ^ { 2 } =mx+1\Leftrightarrow x ^ { 2 } -mx-1=0 $. (*)
Ta có: $ \Delta _{ (*) } =m ^ { 2 } +4>0\,,\,∀m\in \mathbb{R}\Rightarrow $Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $ x_{ 1 } \,,\,x_{ 2 } \,\left ( { x_{ 1 } < x_{ 2 } } \right ) $.
Theo hệ thức Vi-et, ta có: $ x_{ 1 } +x_{ 2 } =m\,,\,x_{ 1 } x_{ 2 } =-1 $và $ \left | { x_{ 2 } -x_{ 1 } } \right |=\frac { \sqrt[] { \Delta } } { \left | { a } \right | }=\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 } $.
Ta có: $ S_{ m } =\int _{ x_{ 1 } }^{ x_{ 2 } } { \left | { x ^ { 2 } -mx-1 } \right |dx }=\left | { \int _{ x_{ 1 } }^{ x_{ 2 } } { \left ( { x ^ { 2 } -mx-1 } \right )dx } } \right |=\left | { \left | { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } \right ._{ x_{ 1 } } ^{ x_{ 2 } }-\left | { \frac { mx ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ x_{ 1 } } ^{ x_{ 2 } }-\left | { x } \right ._{ x_{ 1 } } ^{ x_{ 2 } } } \right | $
$ =\left | { \frac { 1 } { 3 }\left ( { x_{ 2 } ^{ 3 }-x_{ 1 } ^{ 3 } } \right )-\frac { m } { 2 }.\left ( { x_{ 2 } ^{ 2 }-x_{ 1 } ^{ 2 } } \right )-\left ( { x_{ 2 } -x_{ 1 } } \right ) } \right |=\left | { x_{ 2 } -x_{ 1 } } \right |.\left | { \frac { 1 } { 3 }\left ( { x_{ 2 } ^{ 2 }+x_{ 1 } x_{ 2 } +x_{ 1 } ^{ 2 } } \right )-\frac { m } { 2 }.\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right )-1 } \right | $
$ =\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 }.\left | { \frac { 1 } { 3 }\left[ \left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right ) ^ { 2 } -x_{ 1 } x_{ 2 } \right]-\frac { m } { 2 }.\left ( { x_{ 1 } +x_{ 2 } } \right )-1 } \right |=\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 }.\left | { \frac { 1 } { 3 }\left ( { m ^ { 2 } +1 } \right )-\frac { m } { 2 }.m-1 } \right | $
$ =\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 }.\left | { -\frac { m ^ { 2 } +4 } { 6 } } \right |=\frac { 1 } { 6 }\sqrt[] { m ^ { 2 } +4 }.\left ( { m ^ { 2 } +4 } \right )\geq \frac { 1 } { 6 }.2.4=\frac { 4 } { 3 } $.
Vậy $ S_{ m } $ nhỏ nhất bằng $ \frac { 4 } { 3 } $ khi $ m=0 $.