Bài tập nâng cao · Bài 11
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 11
Cho hai hàm số $ f\left ( { x } \right )=ax ^ { 4 } +bx ^ { 3 } +cx ^ { 2 } +dx+e $ với $ a\neq 0 $ và $ g\left ( { x } \right )=px ^ { 2 } +qx-3 $ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số $ y=g\left ( { x } \right ) $ tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là $ -2 $; $ -1 $; $ 1 $ và $ m $. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ x=-2 $ có hệ số góc bằng $ -\frac { 15 } { 2 } $. Gọi $ \left ( { H } \right ) $ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ và$ y=g\left ( { x } \right ) $ (phần được tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình $ \left ( { H } \right ) $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ h\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=ax ^ { 4 } +bx ^ { 3 } +\left ( { c-p } \right )x ^ { 2 } +\left ( { d-q } \right )x+\left ( { e+3 } \right ) $.
$ h'\left ( { x } \right )=4ax ^ { 3 } +3bx ^ { 2 } +2\left ( { c-p } \right )x+\left ( { d-q } \right ) $.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị $ y=f\left ( { x } \right ) $ và $ y=g\left ( { x } \right ) $ là:
$ f\left ( { x } \right )=g\left ( { x } \right )\Leftrightarrow h\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow ax ^ { 4 } +bx ^ { 3 } +\left ( { c-p } \right )x ^ { 2 } +\left ( { d-q } \right )x+e+3=0 $.
Đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số $ y=g\left ( { x } \right ) $ tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là $ -2 $; $ -1 $; $ 1 $ và $ m $ nên $ f\left ( { 0 } \right )=h\left ( { -2 } \right )=h\left ( { -1 } \right )=h\left ( { 1 } \right )=h\left ( { m } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} e=0 \\ 16a-8b+4\left ( { c-p } \right )-2\left ( { d-q } \right )=-3{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) \\ a-b+\left ( { c-p } \right )-\left ( { d-q } \right )=-3{ \rm{ } }\left ( { 2 } \right ) \\ a+b+\left ( { c-p } \right )+\left ( { d-q } \right )=-3{ \rm{ } }\left ( { 3 } \right ) \\ am ^ { 4 } +bm ^ { 3 } +\left ( { c-p } \right )m ^ { 2 } +\left ( { d-q } \right )m+3=0{ \rm{ } }\left ( { 4 } \right ) \end{array} \right. $
Mặt khác, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y=h\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ x=-2 $ có hệ số góc bằng $ -\frac { 15 } { 2 } $ nên $ h'\left ( { -2 } \right )=-\frac { 15 } { 2 }\Leftrightarrow -32a+12b-4\left ( { c-p } \right )+\left ( { d-q } \right )=-\frac { 15 } { 2 }{ \rm{ } }\left ( { 5 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $, $ \left ( { 2 } \right ) $, $ \left ( { 3 } \right ) $, $ \left ( { 5 } \right ) $, ta tìm được: $ \left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 1 } { 2 } \\ b=-\frac { 1 } { 2 } \\ c-p=-\frac { 7 } { 2 } \\ d-q=\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $.
Thay vào $ \left ( { 4 } \right ) $: $ \frac { 1 } { 2 }m ^ { 4 } -\frac { 1 } { 2 }m ^ { 3 } -\frac { 7 } { 2 }m ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2 }m+3=0\Leftrightarrow \left ( { m-3 } \right )\left ( { m-1 } \right )\left ( { m+1 } \right )\left ( { m+2 } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow m=3 $ (vì theo hình vẽ thì $ m>1 $).
Ngoài ra, ta cũng có: $ h\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }x ^ { 4 } -\frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } -\frac { 7 } { 2 }x ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2 }x+3 $.
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là $ S=\int _{ -2 }^{ 3 } { \left | { h\left ( { x } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x }=\int _{ -2 }^{ -1 } { \left | { h\left ( { x } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x }+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { h\left ( { x } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 3 } { \left | { h\left ( { x } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x } $
$ =\left | { \int _{ -2 }^{ -1 } { h\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } } \right |+\left | { \int _{ -1 }^{ 1 } { h\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } } \right |+\left | { \int _{ 1 }^{ 3 } { h\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } } \right |=\left | { -\frac { 113 } { 120 } } \right |+\left | { \frac { 58 } { 15 } } \right |+\left | { -\frac { 122 } { 15 } } \right |=\frac { 1553 } { 120 } $.
$ h'\left ( { x } \right )=4ax ^ { 3 } +3bx ^ { 2 } +2\left ( { c-p } \right )x+\left ( { d-q } \right ) $.
Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị $ y=f\left ( { x } \right ) $ và $ y=g\left ( { x } \right ) $ là:
$ f\left ( { x } \right )=g\left ( { x } \right )\Leftrightarrow h\left ( { x } \right )=0\Leftrightarrow ax ^ { 4 } +bx ^ { 3 } +\left ( { c-p } \right )x ^ { 2 } +\left ( { d-q } \right )x+e+3=0 $.
Đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ đi qua gốc tọa độ và cắt đồ thị hàm số $ y=g\left ( { x } \right ) $ tại bốn điểm có hoành độ lần lượt là $ -2 $; $ -1 $; $ 1 $ và $ m $ nên $ f\left ( { 0 } \right )=h\left ( { -2 } \right )=h\left ( { -1 } \right )=h\left ( { 1 } \right )=h\left ( { m } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} e=0 \\ 16a-8b+4\left ( { c-p } \right )-2\left ( { d-q } \right )=-3{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) \\ a-b+\left ( { c-p } \right )-\left ( { d-q } \right )=-3{ \rm{ } }\left ( { 2 } \right ) \\ a+b+\left ( { c-p } \right )+\left ( { d-q } \right )=-3{ \rm{ } }\left ( { 3 } \right ) \\ am ^ { 4 } +bm ^ { 3 } +\left ( { c-p } \right )m ^ { 2 } +\left ( { d-q } \right )m+3=0{ \rm{ } }\left ( { 4 } \right ) \end{array} \right. $
Mặt khác, tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y=h\left ( { x } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ x=-2 $ có hệ số góc bằng $ -\frac { 15 } { 2 } $ nên $ h'\left ( { -2 } \right )=-\frac { 15 } { 2 }\Leftrightarrow -32a+12b-4\left ( { c-p } \right )+\left ( { d-q } \right )=-\frac { 15 } { 2 }{ \rm{ } }\left ( { 5 } \right ) $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $, $ \left ( { 2 } \right ) $, $ \left ( { 3 } \right ) $, $ \left ( { 5 } \right ) $, ta tìm được: $ \left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 1 } { 2 } \\ b=-\frac { 1 } { 2 } \\ c-p=-\frac { 7 } { 2 } \\ d-q=\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $.
Thay vào $ \left ( { 4 } \right ) $: $ \frac { 1 } { 2 }m ^ { 4 } -\frac { 1 } { 2 }m ^ { 3 } -\frac { 7 } { 2 }m ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2 }m+3=0\Leftrightarrow \left ( { m-3 } \right )\left ( { m-1 } \right )\left ( { m+1 } \right )\left ( { m+2 } \right )=0 $
$ \Leftrightarrow m=3 $ (vì theo hình vẽ thì $ m>1 $).
Ngoài ra, ta cũng có: $ h\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }x ^ { 4 } -\frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } -\frac { 7 } { 2 }x ^ { 2 } +\frac { 1 } { 2 }x+3 $.
Vậy diện tích hình phẳng cần tính là $ S=\int _{ -2 }^{ 3 } { \left | { h\left ( { x } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x }=\int _{ -2 }^{ -1 } { \left | { h\left ( { x } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x }+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { h\left ( { x } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x }+\int _{ 1 }^{ 3 } { \left | { h\left ( { x } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x } $
$ =\left | { \int _{ -2 }^{ -1 } { h\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } } \right |+\left | { \int _{ -1 }^{ 1 } { h\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } } \right |+\left | { \int _{ 1 }^{ 3 } { h\left ( { x } \right ){ \rm{ d } }x } } \right |=\left | { -\frac { 113 } { 120 } } \right |+\left | { \frac { 58 } { 15 } } \right |+\left | { -\frac { 122 } { 15 } } \right |=\frac { 1553 } { 120 } $.