Bài tập nâng cao · Bài 12
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 12
Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính $ AB $ có bán kính bằng $ 4 $ và $ \widehat { BAC }=30 ^ { 0 } $. Hiện tích hình $ (H) $ (Phần tô đậm) bằng
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục tọa độ sao cho $ AB $ nằm trên $ Ox $, các nửa đường tròn nằm trong góc phần tư thứ nhất và $ A(0;0) $ khi đó ta có:
Nửa đường tròn nhỏ có phương trình: $ y=\sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } $.
Nửa đường tròn lớn có phương trình: $ y=\sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } $.
Đường thẳng $ AC $ có phương trình $ y=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x. $
Hình phẳng $ (H) $ giới hạn bởi $ y=\sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } $; $ y=\sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } $; $ y=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x $ và trục $ Ox:{ \rm{ } }y=0. $
Tìm cận: $ \sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x=3 \right. $; $ \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x=6 \right. $.
Diện tích hình phẳng $ (H) $ cần tính là
$ S=\int _{ 3 }^{ 4 } { \left | { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x-\sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } } \right | }{ \rm{ d } }x+\int _{ 4 }^{ 6 } { \left | { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x-0 } \right | }{ \rm{ d } }x+\int _{ 6 }^{ 8 } { \left | { \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } }-0 } \right | }{ \rm{ d } }x $
$ =\int _{ 3 }^{ 6 } { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x{ \rm{ d } }x-\int _{ 3 }^{ 4 } { \sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } } }{ \rm{ d } }x+\int _{ 6 }^{ 8 } { \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x=I_{ 1 } -I_{ 2 } +I_{ 3 } $
Ta có $ I_{ 1 } =\int _{ 3 }^{ 6 } { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x{ \rm{ d } }x= }\left | { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }\frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 3 } ^{ 6 }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }\left ( { \frac { 36 } { 2 }-\frac { 9 } { 2 } } \right )=\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
Tính $ I_{ 2 } =\int _{ 3 }^{ 4 } { \sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ x-2=2sint $. Điều kiện $ t\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right] $ ta có $ { \rm{ d } }x=2cost{ \rm{ d } }t $.
Đổi cận $ x=3\Rightarrow t=\frac { \pi } { 6 };{ \rm{ } }x=4\Rightarrow t=\frac { \pi } { 2 }. $
$ I_{ 2 } =\int _{ 3 }^{ 4 } { \sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \sqrt[] { 4-4sin ^ { 2 } t }.2cost{ \rm{ d } }t= }\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { 4cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t } $
$ =2\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { (1+cos2t){ \rm{ d } }t=\left | { \left ( { 2t+sin2t } \right ) } \right ._{ \frac { \pi } { 6 } } ^{ \frac { \pi } { 2 } }=\frac { 2\pi } { 3 } }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
Tính $ I_{ 3 } =\int _{ 6 }^{ 8 } { \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x $
Đặt Đặt $ x-4=4sinu $. Điều kiện $ u\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right] $ ta có $ { \rm{ d } }x=4cosu{ \rm{ d } }{ \rm{ u } } $.
Đổi cận $ x=6\Rightarrow u=\frac { \pi } { 6 };{ \rm{ } }x=8\Rightarrow u=\frac { \pi } { 2 }. $
$ I_{ 3 } =\int _{ 6 }^{ 8 } { \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \sqrt[] { 16-16sin ^ { 2 } u }.4cosu{ \rm{ d } }u= }16\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cos ^ { 2 } u{ \rm{ d } }u= }16\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t= }4I_{ 2 } =4\left ( { \frac { 2\pi } { 3 }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ). $$ S=I_{ 1 } -I_{ 2 } +I_{ 3 } =\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\left ( { \frac { 2\pi } { 3 }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right )+4\left ( { \frac { 2\pi } { 3 }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right )=3\sqrt[] { 3 }+2\pi . $
Nửa đường tròn nhỏ có phương trình: $ y=\sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } $.
Nửa đường tròn lớn có phương trình: $ y=\sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } $.
Đường thẳng $ AC $ có phương trình $ y=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x. $
Hình phẳng $ (H) $ giới hạn bởi $ y=\sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } $; $ y=\sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } $; $ y=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x $ và trục $ Ox:{ \rm{ } }y=0. $
Tìm cận: $ \sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x=3 \right. $; $ \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x\Leftrightarrow \left[ x=0 \\ x=6 \right. $.
Diện tích hình phẳng $ (H) $ cần tính là
$ S=\int _{ 3 }^{ 4 } { \left | { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x-\sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } } \right | }{ \rm{ d } }x+\int _{ 4 }^{ 6 } { \left | { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x-0 } \right | }{ \rm{ d } }x+\int _{ 6 }^{ 8 } { \left | { \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } }-0 } \right | }{ \rm{ d } }x $
$ =\int _{ 3 }^{ 6 } { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x{ \rm{ d } }x-\int _{ 3 }^{ 4 } { \sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } } }{ \rm{ d } }x+\int _{ 6 }^{ 8 } { \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x=I_{ 1 } -I_{ 2 } +I_{ 3 } $
Ta có $ I_{ 1 } =\int _{ 3 }^{ 6 } { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }x{ \rm{ d } }x= }\left | { \frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }\frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ._{ 3 } ^{ 6 }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 3 } }\left ( { \frac { 36 } { 2 }-\frac { 9 } { 2 } } \right )=\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
Tính $ I_{ 2 } =\int _{ 3 }^{ 4 } { \sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x $
Đặt $ x-2=2sint $. Điều kiện $ t\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right] $ ta có $ { \rm{ d } }x=2cost{ \rm{ d } }t $.
Đổi cận $ x=3\Rightarrow t=\frac { \pi } { 6 };{ \rm{ } }x=4\Rightarrow t=\frac { \pi } { 2 }. $
$ I_{ 2 } =\int _{ 3 }^{ 4 } { \sqrt[] { 4-(x-2) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \sqrt[] { 4-4sin ^ { 2 } t }.2cost{ \rm{ d } }t= }\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { 4cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t } $
$ =2\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { (1+cos2t){ \rm{ d } }t=\left | { \left ( { 2t+sin2t } \right ) } \right ._{ \frac { \pi } { 6 } } ^{ \frac { \pi } { 2 } }=\frac { 2\pi } { 3 } }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }. $
Tính $ I_{ 3 } =\int _{ 6 }^{ 8 } { \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x $
Đặt Đặt $ x-4=4sinu $. Điều kiện $ u\in \left[ -\frac { \pi } { 2 };\frac { \pi } { 2 } \right] $ ta có $ { \rm{ d } }x=4cosu{ \rm{ d } }{ \rm{ u } } $.
Đổi cận $ x=6\Rightarrow u=\frac { \pi } { 6 };{ \rm{ } }x=8\Rightarrow u=\frac { \pi } { 2 }. $
$ I_{ 3 } =\int _{ 6 }^{ 8 } { \sqrt[] { 16-(x-4) ^ { 2 } } }{ \rm{ d } }x=\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { \sqrt[] { 16-16sin ^ { 2 } u }.4cosu{ \rm{ d } }u= }16\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cos ^ { 2 } u{ \rm{ d } }u= }16\int _{ \frac { \pi } { 6 } }^{ \frac { \pi } { 2 } } { cos ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t= }4I_{ 2 } =4\left ( { \frac { 2\pi } { 3 }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ). $$ S=I_{ 1 } -I_{ 2 } +I_{ 3 } =\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\left ( { \frac { 2\pi } { 3 }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right )+4\left ( { \frac { 2\pi } { 3 }-\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right )=3\sqrt[] { 3 }+2\pi . $