Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 13

Ta có: $ \frac { x ^ { 2 } } { 16 }+\frac { y ^ { 2 } } { 1 }=1\Leftrightarrow y=±\sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 16 } }. $
Hoành độ giao điểm của parabol $ y=\frac { 1 } { 24 }x ^ { 2 } $ và elip là nghiệm của phương trình
$ \frac { 1 } { 24 }x ^ { 2 } =\sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 16 } }\Leftrightarrow x ^ { 4 } +36x ^ { 2 } -576=0\Leftrightarrow \left[ x ^ { 2 } =12 \\ x ^ { 2 } =-48 \right.\Leftrightarrow \left[ x=2\sqrt[] { 3 } \\ x=-2\sqrt[] { 3 } \right. $
Do đó $ S_{ 1 } =\int _{ -2\sqrt[] { 3 } }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { \left ( { \sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 16 } }-\frac { x ^ { 2 } } { 24 } } \right ){ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { \left ( { \sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 16 } }-\frac { x ^ { 2 } } { 24 } } \right ){ \rm{ d } }x }=2\int _{ 0 }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 16 } }{ \rm{ d } }x }-2\int _{ 0 }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { \frac { x ^ { 2 } } { 24 }{ \rm{ d } }x } $
$ =2\int _{ 0 }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 16 } }{ \rm{ d } }x }-\frac { 2\sqrt[] { 3 } } { 3 }. $
Đặt $ x=4sint\Rightarrow 2\int _{ 0 }^{ 2\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 1-\frac { x ^ { 2 } } { 16 } }{ \rm{ d } }x }=8\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } } ^ { 2 } t{ \rm{ d } }x }=4\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \left ( { 1+cos2t } \right ){ \rm{ d } }x }=4\left | { \left ( { t+\frac { sin2t } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 3 } }=\frac { 4\pi } { 3 }+\sqrt[] { 3 }. $
Suy ra $ S_{ 1 } =\frac { 4\pi +\sqrt[] { 3 } } { 3 }. $
Diện tích của elips bằng $ \pi ab=4\pi \Rightarrow S_{ 2 } =4\pi -S_{ 1 } =\frac { 8\pi -\sqrt[] { 3 } } { 3 }. $
Vậy $ \frac { S_{ 1 } } { S_{ 2 } }=\frac { 4\pi +\sqrt[] { 3 } } { 8\pi -\sqrt[] { 3 } }. $