Bài tập nâng cao · Bài 14
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 14
Cho hàm số $ y=f(x) $ có đồ thị trên đoạn $ { \rm{ [ } }-2;\,6] $ như hình vẽ bên dưới. Biết các miền $ A,\,B,\,C $ có diện tích lần lượt là $ 32,\,\,2\, $và $ 3 $. Tích phân$ I=\int _{ -2 }^{ 2 } { (3x-4)\left ( { 1+f\left ( { -\frac { 3 } { 4 }x ^ { 2 } +2x+5 } \right ) } \right )dx } $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $ t=-\frac { 3 } { 4 }x ^ { 2 } +2x+5\Rightarrow dt=\left ( { -\frac { 3 } { 2 }x+2 } \right )dx\Rightarrow \left ( { 3x-4 } \right )dx=-2dt $
Đổi cận: - Với $ x=-2\Rightarrow t=-2 $
-Với $ x=2\Rightarrow t=6 $
Ta được: $ I=-2\int _{ -2 }^{ 6 } { \left[ 1+f\left ( { t } \right ) \right]dt }=-2\int _{ -2 }^{ 6 } { dt }-2\int _{ -2 }^{ 6 } { f\left ( { t } \right )dt }=-16-2M $.
Với $ M=\int _{ -2 }^{ 6 } { f\left ( { t } \right )dt }=\int _{ -2 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right )dt }+\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { t } \right )dt }+\int _{ 4 }^{ 6 } { f\left ( { t } \right )dt }=-32+2-3=-33 $.
Vậy: $ I=-16-2.\left ( { -33 } \right )=50 $.
Đổi cận: - Với $ x=-2\Rightarrow t=-2 $
-Với $ x=2\Rightarrow t=6 $
Ta được: $ I=-2\int _{ -2 }^{ 6 } { \left[ 1+f\left ( { t } \right ) \right]dt }=-2\int _{ -2 }^{ 6 } { dt }-2\int _{ -2 }^{ 6 } { f\left ( { t } \right )dt }=-16-2M $.
Với $ M=\int _{ -2 }^{ 6 } { f\left ( { t } \right )dt }=\int _{ -2 }^{ 2 } { f\left ( { t } \right )dt }+\int _{ 2 }^{ 4 } { f\left ( { t } \right )dt }+\int _{ 4 }^{ 6 } { f\left ( { t } \right )dt }=-32+2-3=-33 $.
Vậy: $ I=-16-2.\left ( { -33 } \right )=50 $.