Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 15
Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao $ GH=4m $, chiều rộng $ AB=4m $, $ AC=BD=0,9m $. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $ CDEF $ tô đậm có giá là $ 1200000 $ đồng$ /m ^ { 2 } $, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là $ 900000 $ đồng$ /m ^ { 2 } $. Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
Xem lời giải
Lời giải
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $ AB $ trùng $ Ox $, $ A $ trùng $ O $ khi đó parabol có đỉnh $ G\left ( { 2;4 } \right ) $ và đi qua gốc tọa độ.
Giả sử phương trình của parabol có dạng $ y=ax ^ { 2 } +bx+c{ \rm{ } }\left ( { a\neq 0 } \right ) $.
Vì parabol có đỉnh là $ G\left ( { 2\,;4 } \right ) $ và đi qua điểm $ O\left ( { 0\,;0 } \right ) $ nên ta có $ \left \{ \begin{array}{l} c=0 \\ -\frac { b } { 2a }=2 \\ a.2 ^ { 2 } +b.2+c=4 \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=-1 \\ b=4 \\ c=0 \end{array} \right. $.
Suy ra phương trình parabol là $ y=f(x)=-x ^ { 2 } +4x $.
Diện tích của cả cổng là $ S=\int _{ 0 }^{ 4 } { \left ( { -x ^ { 2 } +4x } \right ){ \rm{ d } }x= }\left | { \left ( { -\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+2x ^ { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 4 }=\frac { 32 } { 3 }\,\,\left ( { { \rm{ m } } ^ { 2 } } \right ) $.
Mặt khác chiều cao $ CF=DE=f\left ( { 0,9 } \right )=2,79({ \rm{ m } }) $; $ CD=4-2.0,9=2,2\,\,\left ( { { \rm{ m } } } \right ) $.
Diện tích hai cánh cổng là $ S_{ CDEF } =CD.CF=6,138\,\,\left ( { { \rm{ m } } ^ { 2 } } \right ) $.
Diện tích phần xiên hoa là $ S_{ xh } =S-S_{ CDEF } =\frac { 32 } { 3 }-6,14=\frac { 6793 } { 1500 }\,\,\left ( { { \rm{ m } } ^ { 2 } } \right ) $.
Vậy tổng số tiền để làm cổng là $ 6,138.1200000+\frac { 6793 } { 1500 }\,.900000=11441400 $ đồng.
