Bài tập nâng cao · Bài 24
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 24
Cho hàm số $y=x^{4} -4x^{2} +m$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại bốn điểm phân biệt sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và Ox có phần phía trên trục hoành là $S_{1}$, phần dưới trục hoành x là $S_{2}$ và $S_{3}$ thỏa $S_{1}+S_{2}=S_{3}$. Khi đó $m=\frac{a}{b}$ ($a,\,b$ là các số nguyên, $b>0$, $\frac{a}{b}$ tối giản). Giá trị của biểu thức $S=a-b$ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $m,n,p,q\,(m < n < 0 < p < q)$ là hoành độ các giao điểm của đồ thị với Ox
Do đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng nên
$S_{1}+S_{2}=S_{3}\Leftrightarrow \frac{1}{2}S_{3}=S_{2}\Leftrightarrow \int _{0}^{p} { \left( x^{4} -4x^{2} +m \right) }dx=\int _{p}^{q} { -\left( x^{4} -4x^{2} +m \right) }dx$
$\Leftrightarrow \int _{0}^{q} { \left( x^{4} -4x^{2} +m \right) }dx=0\Leftrightarrow \frac{q^{5}}{5}-\frac{4q^{3}}{3}+mq=0\Leftrightarrow \frac{q^{4}}{5}-\frac{4q^{2}}{3}+m=0$ (1)
Mặt khác $q^{4} -4q^{2} +m=0$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $m=\frac{20}{9}$. Vậy $a=20,\,b=9\Rightarrow a-b=11$
Do đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng nên
$S_{1}+S_{2}=S_{3}\Leftrightarrow \frac{1}{2}S_{3}=S_{2}\Leftrightarrow \int _{0}^{p} { \left( x^{4} -4x^{2} +m \right) }dx=\int _{p}^{q} { -\left( x^{4} -4x^{2} +m \right) }dx$
$\Leftrightarrow \int _{0}^{q} { \left( x^{4} -4x^{2} +m \right) }dx=0\Leftrightarrow \frac{q^{5}}{5}-\frac{4q^{3}}{3}+mq=0\Leftrightarrow \frac{q^{4}}{5}-\frac{4q^{2}}{3}+m=0$ (1)
Mặt khác $q^{4} -4q^{2} +m=0$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $m=\frac{20}{9}$. Vậy $a=20,\,b=9\Rightarrow a-b=11$