Bài tập nâng cao · Bài 23
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 23
Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng $ 16m $ và độ dài trục bé bằng $ 10m $. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng $ 8m $và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng.Biết kinh phí để trồng hoa là $ 100.000 $ đồng/$ 1\,m ^ { 2 } $. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm trong đến hàng nghìn.)
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử elip có phương trình $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }+\frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }=1 $ với $ a>0,b>0 $.
Theo đề bài, ta có $ 2a=16\Rightarrow a=8 $ và $ 2b=10\Rightarrow b=5 $.
Vậy phương trình của elip: $ \frac { x ^ { 2 } } { 64 }+\frac { y ^ { 2 } } { 25 }=1 $$ \Rightarrow \left[ y=-\frac { 5 } { 8 }\sqrt[] { 64-x ^ { 2 } }\left ( { E_{ 1 } } \right ) \\ y=\frac { 5 } { 8 }\sqrt[] { 64-x ^ { 2 } }\left ( { E_{ 2 } } \right ) \right. $.
Khi đó dải vườn được giới hạn bởi các đường $ \left ( { E_{ 1 } } \right ),\left ( { E_{ 2 } } \right ) $,$ x=4;x=-4 $và diện tích của dải vườn là $ S=2\int _{ -4 }^{ 4 } { \frac { 5 } { 8 }\sqrt[] { 64-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=\frac { 5 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 4 } { \sqrt[] { 64-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } } $.
Tính $ S $ bằng cách đổi biến $ x=8sint $,ta được $ S=80\left ( { \frac { \pi } { 6 }+\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } } \right ) $
Vậy số tiền $ T=80\left ( { \frac { \pi } { 6 }+\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } } \right ).100000=7652891,82. $ Vậy chọn D.
Theo đề bài, ta có $ 2a=16\Rightarrow a=8 $ và $ 2b=10\Rightarrow b=5 $.
Vậy phương trình của elip: $ \frac { x ^ { 2 } } { 64 }+\frac { y ^ { 2 } } { 25 }=1 $$ \Rightarrow \left[ y=-\frac { 5 } { 8 }\sqrt[] { 64-x ^ { 2 } }\left ( { E_{ 1 } } \right ) \\ y=\frac { 5 } { 8 }\sqrt[] { 64-x ^ { 2 } }\left ( { E_{ 2 } } \right ) \right. $.
Khi đó dải vườn được giới hạn bởi các đường $ \left ( { E_{ 1 } } \right ),\left ( { E_{ 2 } } \right ) $,$ x=4;x=-4 $và diện tích của dải vườn là $ S=2\int _{ -4 }^{ 4 } { \frac { 5 } { 8 }\sqrt[] { 64-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x=\frac { 5 } { 2 }\int _{ 0 }^{ 4 } { \sqrt[] { 64-x ^ { 2 } }{ \rm{ d } }x } } $.
Tính $ S $ bằng cách đổi biến $ x=8sint $,ta được $ S=80\left ( { \frac { \pi } { 6 }+\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } } \right ) $
Vậy số tiền $ T=80\left ( { \frac { \pi } { 6 }+\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 } } \right ).100000=7652891,82. $ Vậy chọn D.