Bài tập nâng cao · Bài 22
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 22
Cho hai hàm số $ f\left ( { x } \right )=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx-\frac { 1 } { 2 } $ và $ g\left ( { x } \right )=dx ^ { 2 } +ex+1 $ $ \left ( { a,b,c,d,e\in \mathbb{R} } \right ) $. Biết rằng đồ thị hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ và $ y=g\left ( { x } \right ) $ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $ -3 $; $ -1 $; $ 1 $ (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi $ 2 $ đồ thị đã cho có diện tích bằng
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Xét phương trình $ ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx-\frac { 1 } { 2 }=dx ^ { 2 } +ex+1 $$ \Leftrightarrow ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-e } \right )x-\frac { 3 } { 2 }=0 $ có 3 nghiệm lần lượt là $ -3 $; $ -1 $; $ 1 $ nên suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} -27a+9\left ( { b-d } \right )-3\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \\ -a+\left ( { b-d } \right )-\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \\ a+\left ( { b-d } \right )+\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} b-d=\frac { 3 } { 2 } \\ a=\frac { 1 } { 2 } \\ c-e=\frac { -1 } { 2 } \end{array} \right. $
Vậy $ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } $.
Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng $ S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left ( { f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) } \right )dx }+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { g\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } \right )dx } $ $ \Leftrightarrow S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } } \right )dx }-\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } } \right )dx }=2+2=4 $.
Cách 2:
Ta có: $ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=a\left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right ) $.
Suy ra $ a\left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right )=ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-d } \right )x-\frac { 3 } { 2 } $
Xét hệ số tự do suy ra: $ -3a=-\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow a=\frac { 1 } { 2 } $.
Do đó: $ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right ) $.
Diện tích bằng: $ S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left[ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ g\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } $$ \Leftrightarrow S=\frac { 1 } { 2 }\int _{ -3 }^{ -1 } { \left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right ){ \rm{ d } }x }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right ){ \rm{ d } }x } $$ =4 $.
Xét phương trình $ ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx-\frac { 1 } { 2 }=dx ^ { 2 } +ex+1 $$ \Leftrightarrow ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-e } \right )x-\frac { 3 } { 2 }=0 $ có 3 nghiệm lần lượt là $ -3 $; $ -1 $; $ 1 $ nên suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} -27a+9\left ( { b-d } \right )-3\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \\ -a+\left ( { b-d } \right )-\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \\ a+\left ( { b-d } \right )+\left ( { c-e } \right )-\frac { 3 } { 2 }=0 \end{array} \right. $ $ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} b-d=\frac { 3 } { 2 } \\ a=\frac { 1 } { 2 } \\ c-e=\frac { -1 } { 2 } \end{array} \right. $
Vậy $ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } $.
Hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị đã cho có diện tích bằng $ S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left ( { f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) } \right )dx }+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { g\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } \right )dx } $ $ \Leftrightarrow S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } } \right )dx }-\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 3 } +\frac { 3 } { 2 }x ^ { 2 } -\frac { 1 } { 2 }x-\frac { 3 } { 2 } } \right )dx }=2+2=4 $.
Cách 2:
Ta có: $ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=a\left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right ) $.
Suy ra $ a\left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right )=ax ^ { 3 } +\left ( { b-d } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-d } \right )x-\frac { 3 } { 2 } $
Xét hệ số tự do suy ra: $ -3a=-\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow a=\frac { 1 } { 2 } $.
Do đó: $ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=\frac { 1 } { 2 }\left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right ) $.
Diện tích bằng: $ S=\int _{ -3 }^{ -1 } { \left[ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x }+\int _{ -1 }^{ 1 } { \left[ g\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) \right]{ \rm{ d } }x } $$ \Leftrightarrow S=\frac { 1 } { 2 }\int _{ -3 }^{ -1 } { \left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right ){ \rm{ d } }x }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { x+3 } \right )\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right ){ \rm{ d } }x } $$ =4 $.