Bài tập nâng cao · Bài 21
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 21
Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+4 $và $ g\left ( { x } \right )=mx ^ { 2 } +nx $có đồ thị như hình bên. Diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số trên (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng
Xem lời giải
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm $ f\left ( { x } \right )=g\left ( { x } \right ) $$ \Leftrightarrow ax ^ { 3 } +\left ( { b-m } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-n } \right )x+4=0 $(1).
Dựa vào đồ thị ta thấy $ \left ( { 1 } \right ) $có $ 3 $ nghiệm $ x=-1\, $,$ x=1 $, $ x=2 $
$ \Rightarrow ax ^ { 3 } +\left ( { b-m } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-n } \right )x+4=a\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) $
$ \Rightarrow ax ^ { 3 } +\left ( { b-m } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-n } \right )x+4=ax ^ { 3 } -2ax ^ { 2 } -ax+2a $
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} b-m=-2a \\ c-n=-a \\ 4=2a \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} b-m=-4 \\ c-n=-2 \\ a=2 \end{array} \right. $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=2x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2x+4 $.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $ f\left ( { x } \right ) $và $ g\left ( { x } \right ) $bằng:
$ S=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) } \right ){ \rm{ d } }x+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { g\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } \right ){ \rm{ d } }x } } $
$ S $$ =\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 2x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2x+4 } \right ){ \rm{ d } }x } $$ -\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { 2x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2x+4 } \right ){ \rm{ d } }x } $$ =\frac { 37 } { 6 } $.
Dựa vào đồ thị ta thấy $ \left ( { 1 } \right ) $có $ 3 $ nghiệm $ x=-1\, $,$ x=1 $, $ x=2 $
$ \Rightarrow ax ^ { 3 } +\left ( { b-m } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-n } \right )x+4=a\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) $
$ \Rightarrow ax ^ { 3 } +\left ( { b-m } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-n } \right )x+4=ax ^ { 3 } -2ax ^ { 2 } -ax+2a $
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} b-m=-2a \\ c-n=-a \\ 4=2a \end{array} \right. $$ \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} b-m=-4 \\ c-n=-2 \\ a=2 \end{array} \right. $$ \Rightarrow f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=2x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2x+4 $.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $ f\left ( { x } \right ) $và $ g\left ( { x } \right ) $bằng:
$ S=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right ) } \right ){ \rm{ d } }x+\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { g\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } \right ){ \rm{ d } }x } } $
$ S $$ =\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { 2x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2x+4 } \right ){ \rm{ d } }x } $$ -\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { 2x ^ { 3 } -4x ^ { 2 } -2x+4 } \right ){ \rm{ d } }x } $$ =\frac { 37 } { 6 } $.