Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 20

Giả sử $ y=f\left ( { x } \right )=x ^ { 3 } +ax ^ { 2 } +bx+c $ và tiếp tuyến $ y=g\left ( { x } \right ) $. Khi đó phương trình hoành độ điểm: $ f\left ( { x } \right )=g\left ( { x } \right )\Leftrightarrow f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=0 $. Mặt khác theo đề bài thì tiếp tuyến $ d $ của $ \left ( { C } \right ) $ tại điểm có hoành độ $ -1 $ cắt $ \left ( { C } \right ) $ tại điểm $ B $có hoành độ bằng $ 2 $ nên ta có: $ f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-2 } \right ) $. Do đó diện diện tích hình phẳng giới hạn bởi $ d $ và $ \left ( { C } \right ) $ (phần gạch chéo trong hình) bằng: $ S=\int _{ -1 }^{ 2 } { \left ( { g\left ( { x } \right )-f\left ( { x } \right ) } \right ){ \rm{ d } }x= }\int _{ -1 }^{ 2 } { \left ( { -\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } \left ( { x-2 } \right ) } \right ){ \rm{ d } }x }=\frac { 27 } { 4 } $.