Cho $ \left ( { P } \right ):y=-2x ^ { 2 } +4x-3 $, biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi $ \left ( { P } \right ) $ và hai tiếp tuyến của $ \left ( { P } \right ) $ tại $ A\left ( { -1;-9 } \right ) $ và $ B\left ( { 4;-19 } \right ) $ có kết quả là phân số tối giản $ \frac { a } { b } $( với $ a $ và $ b $ là các số nguyên dương). Tính $ T=a+b $.

Question

Dạng 1. Ứng dụng diện tích Cho $ \left ( { P } \right ):y=-2x ^ { 2 } +4x-3 $, biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi $ \left ( { P } \right ) $ và hai tiếp tuyến của $ \left ( { P } \right ) $ tại $ A\left ( { -1;-9 } \right ) $ và $ B\left ( { 4;-19 } \right ) $ có kết quả là phân số tối giản $ \frac { a } { b } $( với $ a $ và $ b $ là các số nguyên dương). Tính $ T=a+b $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có $y'=-4x+4\Rightarrow \begin{cases}f'(-1)=8\f'(4)=-12\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\Delta_1:y=8x-1\\Delta_2:y=-12x+29\end{cases}$. Phương trình hoành độ giao điểm của $ \left ( { P } ight ) $ và $ \left ( { \Delta _{ 1 } } ight )\Rightarrow A\left ( { -1;-9 } ight ). $ Phương trình hoành độ giao điểm của $ \left ( { P } ight ) $ và $ \left ( { \Delta _{ 2 } } ight )\Rightarrow B\left ( { 4;-19 } ight ). $ Phương trình hoành độ giao điểm của $ \left ( { \Delta _{ 1 } } ight ) $ và $ \left ( { \Delta _{ 2 } } ight )\Rightarrow C\left ( { \frac { 3 } { 2 };11 } ight ). $ Khi đó $ S=\int _{ -1 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \left | { \left ( { -2x ^ { 2 } +4x-3 } ight )-\left ( { 8x-1 } ight ) } ight |dx }+\int _{ \frac { 3 } { 2 } }^{ 4 } { \left | { \left ( { -2x ^ { 2 } +4x-3 } ight )-\left ( { -12x+29 } ight ) } ight | }dx $ Dùng máy tính cho kết quả $ S=\frac { 125 } { 12 }+\frac { 125 } { 12 }=\frac { 125 } { 6 }\Rightarrow a=125,b=6\Rightarrow T=a+b=131. $

Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 19