Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 25
Cho $f\left( x \right),g\left( x \right)$ lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ.
Biết diện tích hình $S$ (được tô màu) bằng $\frac{250}{81}$. Tính $\int _{0}^{2} { f\left( x \right)dx }$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $g\left( x \right)$ là hàm số bậc nhất đi qua $A\left( \frac{4}{3};1 \right)$ và $B\left( 3;2 \right)$ nên $g\left( x \right)=\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}$.
Với $y=-1\Rightarrow \frac{3}{5}x+\frac{1}{5}=-1\Leftrightarrow x=-2\Rightarrow C\left( -2;-1 \right)$ là giao điểm của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$.
Do đó $f\left( x \right)-g\left( x \right)=a\left( x+2 \right)\left( x-\frac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)$.
Lại có $S=\int _{ -2 }^{\frac{4}{3} } { \left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]{ \rm{ d } }x }\Leftrightarrow \frac{250}{81}=\int _{ -2 }^{\frac{4}{3} } { \left[ a\left( x+2 \right)\left( x-\frac{4}{3} \right)\left( x-3 \right) \right]{ \rm{ d } }x }\Leftrightarrow a=\frac{3}{20}$.
Suy ra $f\left( x \right)-g\left( x \right)=\frac{3}{20}\left( x+2 \right)\left( x-\frac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)=\frac{3}{20}\left( x+2 \right)\left( x-\frac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)+\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}$.
Vậy $\int _{0}^{2} { f\left( x \right)dx }=\int _{0}^{2} { \left[ \frac{3}{20}\left( x+2 \right)\left( x-\frac{4}{3} \right)\left( x-3 \right)+\frac{3}{5}x+\frac{1}{5} \right]dx }=\frac{34}{15}$.
