Bài tập nâng cao · Bài 16
Dạng 1. Ứng dụng diện tích
Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 16
Cho parabol $ \left ( { P } \right ) $: $ y=\frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } $ và đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có bán kính bằng $ 1 $ tiếp xúc với trục hoành đồng thời có chung một điểm $ A $ duy nhất với $ \left ( { P } \right ) $. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $ \left ( { P } \right ) $, $ \left ( { C } \right ) $ và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) bằng
Xem lời giải
Lời giải
Vì $ A\in \left ( { P } \right ) $: $ y=\frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } $ và đường tròn $ \left ( { C } \right ) $ có bán kính bằng $ 1 $ tiếp xúc với trục hoành nên ta gọi $ A\left ( { m;\frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \right ) $ và $ I\left ( { n;1 } \right ) $ ($ I $ là tâm của đường tròn $ \left ( { C } \right ) $, $ m $, $ n>0 $) $ \Rightarrow \overset\rightarrow { IA }=\left ( { m-n;\frac { m ^ { 2 } -2 } { 2 } } \right ) $
Phương trình tiếp tuyến tại $ A $ của $ \left ( { P } \right ) $ là $ y=m\left ( { x-m } \right )+\frac { m ^ { 2 } } { 2 } $ hay $ mx-y-\frac { m ^ { 2 } } { 2 }=0 $ $ \left ( { d } \right ) $
$ \Rightarrow $ Véc tơ pháp tuyến của $ \left ( { d } \right ) $ là $ \left ( { m;-1 } \right ) $
$ \left ( { d } \right ) $ là tiếp tuyến tại $ A $ của $ \left ( { P } \right ) $$ \Rightarrow \left ( { d } \right ) $ là tiếp tuyến tại $ A $ của $ \left ( { C } \right ) $$ \Rightarrow IA⊥\left ( { d } \right ) $
$ \Rightarrow \frac { m-n } { m }=\frac { \frac { m ^ { 2 } -2 } { 2 } } { -1 } $$ \Leftrightarrow \frac { m-n } { m }=\frac { m ^ { 2 } -2 } { -2 } $$ \Leftrightarrow 2\left ( { m-n } \right )=-m\left ( { m ^ { 2 } -2 } \right ) $
$ A\in \left ( { C } \right ) $$ \Leftrightarrow IA=1 $$ \Leftrightarrow \left ( { m-n } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { m ^ { 2 } -2 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =1 $$ \Leftrightarrow \left[ 2\left ( { m-n } \right ) \right] ^ { 2 } +\left ( { m ^ { 2 } -2 } \right ) ^ { 2 } =4 $
$ \Rightarrow m ^ { 2 } \left ( { m ^ { 2 } -2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { m ^ { 2 } -2 } \right ) ^ { 2 } =4 $$ \Rightarrow t\left ( { t-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { t-2 } \right ) ^ { 2 } =4 $ (với $ t=m ^ { 2 } >0 $)
$ \Leftrightarrow t\left ( { t ^ { 2 } -4t+4 } \right )+t ^ { 2 } -4t+4=4 $$ \Leftrightarrow t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } =0 $$ \Leftrightarrow t ^ { 2 } \left ( { t-3 } \right )=0 $$ \Leftrightarrow t=3 $ (vì $ t>0 $)
$ \Rightarrow m ^ { 2 } =3 $, mà $ m>0 $ $ \Rightarrow m=\sqrt[] { 3 } $$ \Rightarrow 2\left ( { \sqrt[] { 3 }-n } \right )=-\sqrt[] { 3 }\left ( { 3-2 } \right ) $$ \Leftrightarrow 2n=3\sqrt[] { 3 } $$ \Leftrightarrow n=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } $
Cách 1
Phương trình đường tròn $ \left ( { C } \right ) $: $ \left ( { x-\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } =1 $$ \Leftrightarrow \left ( { x-\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } $
$ \Leftrightarrow x-\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }=±\sqrt[] { 1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } } $$ \Rightarrow \left[ x=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }+\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y } \\ x=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y } \right. $
Ta lại có: $ y=\frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } $$ \Leftrightarrow x ^ { 2 } =2y $$ \Leftrightarrow x=±\sqrt[] { 2y } $
$ \Rightarrow $ Diện tích hình phẳng cần tìm (được tô màu) là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $ y=0 $; $ y=\frac { 3 } { 2 } $; $ x=\sqrt[] { 2y } $; $ x=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y } $ (cung tròn nằm bên trái đường thẳng đi qua $ I $ và vuông góc với $ Ox $, $ x\leq \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } $)
$ \Rightarrow $ Diện tích cần tìm là $ S=\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \left | { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }-\sqrt[] { 2y } } \right | }{ \rm{ d } }y $
Xét hàm số $ f\left ( { y } \right )=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }-\sqrt[] { 2y } $ trên đoạn $ \left[ 0;\frac { 3 } { 2 } \right] $
$ f'\left ( { y } \right )=\frac { -y+1 } { \sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y } }+\frac { 1 } { \sqrt[] { 2y } }=0 $$ \Leftrightarrow \frac { y-1 } { \sqrt[] { y\left ( { 2-y } \right ) } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 2y } } $$ \Rightarrow \sqrt[] { 2 }\left ( { y-1 } \right )=\sqrt[] { 2-y } $ (điều kiện:$ y\geq 1 $)
$ \Leftrightarrow 2y ^ { 2 } -4y+2=2-y $$ \Leftrightarrow 2y ^ { 2 } -3y=0 $$ \Leftrightarrow y\left ( { 2y-3 } \right )=0 $$ \Leftrightarrow y=\frac { 3 } { 2 } $ (vì $ y\geq 1 $)
Bảng biến thiên:
Suy ra $ f\left ( { y } \right )\geq 0 $ với $ ∀x\in \left[ 0;\frac { 3 } { 2 } \right] $$ \Rightarrow S=\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }-\sqrt[] { 2y } } \right ) }{ \rm{ d } }y $
$ \Rightarrow S=\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }-\sqrt[] { 2y } } \right ) }{ \rm{ d } }y=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { { \rm{ d } }y }-\sqrt[] { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { y ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \rm{ d } }y }-\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }{ \rm{ d } }y } $
$ =\left | { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }y } \right ._{ 0 } ^{ \frac { 3 } { 2 } }-\left | { \frac { 2\sqrt[] { 2 } } { 3 }y ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right ._{ 0 } ^{ \frac { 3 } { 2 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt[] { 1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }y } $$ =\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\sqrt[] { 3 }-\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt[] { 1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }y } $
$ =\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt[] { 1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }y } $
Đặt $ y-1=sint\Rightarrow { \rm{ d } }y=cost{ \rm{ d } }t;\,\,\,\,\,\,\left \{ \begin{array}{l} y=0\Rightarrow t=-\frac { \pi } { 2 } \\ y=\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow t=\frac { \pi } { 6 } \end{array} \right. $
Suy ra: $ S=\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ \frac { \pi } { 6 } } { \sqrt[] { 1-sin ^ { 2 } t }{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }t{ \rm{ d } }t } $$ =\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ \frac { \pi } { 6 } } { { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } } ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t } $$ =\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ \frac { \pi } { 6 } } { \left ( { { \rm{ 1 } }{ \rm{ + } }{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }{ \rm{ 2 } }t } \right ){ \rm{ d } }t } $
$ =\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\left | { \frac { 1 } { 2 }\left ( { t+\frac { 1 } { 2 }sin2t } \right ) } \right ._{ -\frac { \pi } { 2 } } ^{ \frac { \pi } { 6 } } $$ =\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 8 }-\frac { 2\pi } { 6 } $$ =\frac { 27\sqrt[] { 3 }-8\pi } { 24 } $.
Vậy diện tích hình phẳng cần tính bằng $ S=\frac { 27\sqrt[] { 3 }-8\pi } { 24 } $.
Cách 2
Ta có:$ A\left ( { \sqrt[] { 3 };\frac { 3 } { 2 } } \right ),\,I\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 };1 } \right ),B\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 };0 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { IA }\left ( { -\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 };\frac { 1 } { 2 } } \right ),\overset\rightarrow { IB }\left ( { 0;-1 } \right ) $.
$ cos\left ( { \overset\rightarrow { IA };\overset\rightarrow { IB } } \right )=-\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow \widehat { BIA }=120° $.
Diện tích phần hình tròn chắn bởi góc $ \widehat { AIB } $ là $ S_{ 1 } =\frac { 120 } { 360 }\pi IA ^ { 2 } =\frac { \pi } { 3 } $.
Khi đó diện tích cần tính là:
$ S=S_{ OAN } +S_{ ANBI } -S_{ 1 } $$ =\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } { \rm{ d } }x }+\frac { 1 } { 2 }\left ( { AN+BI } \right )NB-S_{ 1 } $
$ =\left | { \frac { 1 } { 6 }x ^ { 3 } } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { 3 } }+\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 3 } { 2 }+1 } \right )\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }-\frac { \pi } { 3 } $$ =\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 8 }-\frac { \pi } { 3 } $$ =\frac { 27\sqrt[] { 3 }-8\pi } { 24 } $.
Phương trình tiếp tuyến tại $ A $ của $ \left ( { P } \right ) $ là $ y=m\left ( { x-m } \right )+\frac { m ^ { 2 } } { 2 } $ hay $ mx-y-\frac { m ^ { 2 } } { 2 }=0 $ $ \left ( { d } \right ) $
$ \Rightarrow $ Véc tơ pháp tuyến của $ \left ( { d } \right ) $ là $ \left ( { m;-1 } \right ) $
$ \left ( { d } \right ) $ là tiếp tuyến tại $ A $ của $ \left ( { P } \right ) $$ \Rightarrow \left ( { d } \right ) $ là tiếp tuyến tại $ A $ của $ \left ( { C } \right ) $$ \Rightarrow IA⊥\left ( { d } \right ) $
$ \Rightarrow \frac { m-n } { m }=\frac { \frac { m ^ { 2 } -2 } { 2 } } { -1 } $$ \Leftrightarrow \frac { m-n } { m }=\frac { m ^ { 2 } -2 } { -2 } $$ \Leftrightarrow 2\left ( { m-n } \right )=-m\left ( { m ^ { 2 } -2 } \right ) $
$ A\in \left ( { C } \right ) $$ \Leftrightarrow IA=1 $$ \Leftrightarrow \left ( { m-n } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { m ^ { 2 } -2 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =1 $$ \Leftrightarrow \left[ 2\left ( { m-n } \right ) \right] ^ { 2 } +\left ( { m ^ { 2 } -2 } \right ) ^ { 2 } =4 $
$ \Rightarrow m ^ { 2 } \left ( { m ^ { 2 } -2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { m ^ { 2 } -2 } \right ) ^ { 2 } =4 $$ \Rightarrow t\left ( { t-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { t-2 } \right ) ^ { 2 } =4 $ (với $ t=m ^ { 2 } >0 $)
$ \Leftrightarrow t\left ( { t ^ { 2 } -4t+4 } \right )+t ^ { 2 } -4t+4=4 $$ \Leftrightarrow t ^ { 3 } -3t ^ { 2 } =0 $$ \Leftrightarrow t ^ { 2 } \left ( { t-3 } \right )=0 $$ \Leftrightarrow t=3 $ (vì $ t>0 $)
$ \Rightarrow m ^ { 2 } =3 $, mà $ m>0 $ $ \Rightarrow m=\sqrt[] { 3 } $$ \Rightarrow 2\left ( { \sqrt[] { 3 }-n } \right )=-\sqrt[] { 3 }\left ( { 3-2 } \right ) $$ \Leftrightarrow 2n=3\sqrt[] { 3 } $$ \Leftrightarrow n=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } $
Cách 1
Phương trình đường tròn $ \left ( { C } \right ) $: $ \left ( { x-\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } =1 $$ \Leftrightarrow \left ( { x-\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } =1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } $
$ \Leftrightarrow x-\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }=±\sqrt[] { 1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } } $$ \Rightarrow \left[ x=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }+\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y } \\ x=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y } \right. $
Ta lại có: $ y=\frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } $$ \Leftrightarrow x ^ { 2 } =2y $$ \Leftrightarrow x=±\sqrt[] { 2y } $
$ \Rightarrow $ Diện tích hình phẳng cần tìm (được tô màu) là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $ y=0 $; $ y=\frac { 3 } { 2 } $; $ x=\sqrt[] { 2y } $; $ x=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y } $ (cung tròn nằm bên trái đường thẳng đi qua $ I $ và vuông góc với $ Ox $, $ x\leq \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } $)
$ \Rightarrow $ Diện tích cần tìm là $ S=\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \left | { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }-\sqrt[] { 2y } } \right | }{ \rm{ d } }y $
Xét hàm số $ f\left ( { y } \right )=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }-\sqrt[] { 2y } $ trên đoạn $ \left[ 0;\frac { 3 } { 2 } \right] $
$ f'\left ( { y } \right )=\frac { -y+1 } { \sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y } }+\frac { 1 } { \sqrt[] { 2y } }=0 $$ \Leftrightarrow \frac { y-1 } { \sqrt[] { y\left ( { 2-y } \right ) } }=\frac { 1 } { \sqrt[] { 2y } } $$ \Rightarrow \sqrt[] { 2 }\left ( { y-1 } \right )=\sqrt[] { 2-y } $ (điều kiện:$ y\geq 1 $)
$ \Leftrightarrow 2y ^ { 2 } -4y+2=2-y $$ \Leftrightarrow 2y ^ { 2 } -3y=0 $$ \Leftrightarrow y\left ( { 2y-3 } \right )=0 $$ \Leftrightarrow y=\frac { 3 } { 2 } $ (vì $ y\geq 1 $)
Bảng biến thiên:
Suy ra $ f\left ( { y } \right )\geq 0 $ với $ ∀x\in \left[ 0;\frac { 3 } { 2 } \right] $$ \Rightarrow S=\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }-\sqrt[] { 2y } } \right ) }{ \rm{ d } }y $
$ \Rightarrow S=\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }-\sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }-\sqrt[] { 2y } } \right ) }{ \rm{ d } }y=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { { \rm{ d } }y }-\sqrt[] { 2 }\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { y ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \rm{ d } }y }-\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt[] { -y ^ { 2 } +2y }{ \rm{ d } }y } $
$ =\left | { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 }y } \right ._{ 0 } ^{ \frac { 3 } { 2 } }-\left | { \frac { 2\sqrt[] { 2 } } { 3 }y ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right ._{ 0 } ^{ \frac { 3 } { 2 } }-\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt[] { 1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }y } $$ =\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\sqrt[] { 3 }-\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt[] { 1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }y } $
$ =\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\int _{ 0 }^{ \frac { 3 } { 2 } } { \sqrt[] { 1-\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } }{ \rm{ d } }y } $
Đặt $ y-1=sint\Rightarrow { \rm{ d } }y=cost{ \rm{ d } }t;\,\,\,\,\,\,\left \{ \begin{array}{l} y=0\Rightarrow t=-\frac { \pi } { 2 } \\ y=\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow t=\frac { \pi } { 6 } \end{array} \right. $
Suy ra: $ S=\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ \frac { \pi } { 6 } } { \sqrt[] { 1-sin ^ { 2 } t }{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }t{ \rm{ d } }t } $$ =\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ \frac { \pi } { 6 } } { { \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } } ^ { 2 } t{ \rm{ d } }t } $$ =\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\frac { 1 } { 2 }\int _{ -\frac { \pi } { 2 } }^{ \frac { \pi } { 6 } } { \left ( { { \rm{ 1 } }{ \rm{ + } }{ \rm{ c } }{ \rm{ o } }{ \rm{ s } }{ \rm{ 2 } }t } \right ){ \rm{ d } }t } $
$ =\frac { 5\sqrt[] { 3 } } { 4 }-\left | { \frac { 1 } { 2 }\left ( { t+\frac { 1 } { 2 }sin2t } \right ) } \right ._{ -\frac { \pi } { 2 } } ^{ \frac { \pi } { 6 } } $$ =\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 8 }-\frac { 2\pi } { 6 } $$ =\frac { 27\sqrt[] { 3 }-8\pi } { 24 } $.
Vậy diện tích hình phẳng cần tính bằng $ S=\frac { 27\sqrt[] { 3 }-8\pi } { 24 } $.
Cách 2
Ta có:$ A\left ( { \sqrt[] { 3 };\frac { 3 } { 2 } } \right ),\,I\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 };1 } \right ),B\left ( { \frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 };0 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { IA }\left ( { -\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 };\frac { 1 } { 2 } } \right ),\overset\rightarrow { IB }\left ( { 0;-1 } \right ) $.
$ cos\left ( { \overset\rightarrow { IA };\overset\rightarrow { IB } } \right )=-\frac { 1 } { 2 }\Rightarrow \widehat { BIA }=120° $.
Diện tích phần hình tròn chắn bởi góc $ \widehat { AIB } $ là $ S_{ 1 } =\frac { 120 } { 360 }\pi IA ^ { 2 } =\frac { \pi } { 3 } $.
Khi đó diện tích cần tính là:
$ S=S_{ OAN } +S_{ ANBI } -S_{ 1 } $$ =\int _{ 0 }^{ \sqrt[] { 3 } } { \frac { 1 } { 2 }x ^ { 2 } { \rm{ d } }x }+\frac { 1 } { 2 }\left ( { AN+BI } \right )NB-S_{ 1 } $
$ =\left | { \frac { 1 } { 6 }x ^ { 3 } } \right ._{ 0 } ^{ \sqrt[] { 3 } }+\frac { 1 } { 2 }\left ( { \frac { 3 } { 2 }+1 } \right )\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }-\frac { \pi } { 3 } $$ =\frac { 9\sqrt[] { 3 } } { 8 }-\frac { \pi } { 3 } $$ =\frac { 27\sqrt[] { 3 }-8\pi } { 24 } $.