Bài tập nâng cao Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 17

Đặt $ h\left ( { x } \right )=f\left ( { x } \right )-g\left ( { x } \right )=ax ^ { 3 } +\left ( { b-m } \right )x ^ { 2 } +\left ( { c-n } \right )x+4 $
Từ đồ thị ta thấy phương trình $ h\left ( { x } \right )=0 $ có ba nghiệm $ x=-1 $; $ x=1 $; $ x=2 $
Do đó $ h\left ( { x } \right )=a\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) $
Mà $ h\left ( { 0 } \right )=4=2a $$ \Rightarrow $$ a=2 $
Khi đó $ h\left ( { x } \right )=2\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) $
Vậy diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ và $ y=g\left ( { x } \right ) $ là:
$ S=\int _{ -1 }^{ 2 } { \left | { h\left ( { x } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x }=\int _{ -1 }^{ 2 } { \left | { 2\left ( { x+1 } \right )\left ( { x-1 } \right )\left ( { x-2 } \right ) } \right |{ \rm{ d } }x }=2\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -x+2 } \right |{ \rm{ d } }x }+2\int _{ 1 }^{ 2 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -x+2 } \right |{ \rm{ d } }x } $
$ =2\int _{ -1 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -x+2 } \right ){ \rm{ d } }x }-2\int _{ 1 }^{ 2 } { \left ( { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } -x+2 } \right ){ \rm{ d } }x } $
$ =2\left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 2x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+2x } \right )\left | { 1 \\ -1 } \right .-2\left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 2x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 }+2x } \right )\left | { 2 \\ 1 } \right .=\frac { 37 } { 6 } $.