Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 17

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, ta có: $AO\perp BD,A' O\perp BD$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( A' BD \right)$ và $(ABCD)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AO,A' O$ mà
$\left( AO,A' O \right)= \widehat { AOA' }$ nên góc giữa hai mặt phẳng $\left( A' BD \right)$ và $(ABCD)$ bằng $\widehat { AOA' }$. Ta có:
$OA=\frac{a\sqrt{2}}{2},OA' =\sqrt{OA^{2} +AA'^2 }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Suy ra $\cos \widehat { AOA' }=\frac{AO}{A' O }=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
b) Vì $A' O\perp BD,OC' \perp BD$ nên góc nhị diện $[A',BD,C']$ bằng $\widehat { A' OC' }$.
Ta có $OA' =OC' =\frac{a\sqrt{6}}{2},A' C' =a\sqrt{2}$ nên $\cos \widehat { A' OC' }=\frac{OA'^2 +OC'^2 -A' C'^2}{2\cdot OA' \cdot OC' }=\frac{1}{3}$.