Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 16

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Khi đó $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AB$, kẻ $OH\perp AB$ tại $H$ thì $AB\perp (SOH)$, suy ra $AB\perp SH$. Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SH$ và $HO$, mà $(SH,HO)= \widehat { SHO }$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ bằng $\widehat { SHO }$.
Ta tính được $OH=\frac{a}{2},SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\cos \widehat { SHO }=\frac{OH}{SH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
b) Gọi $K$ là trung điểm của $SB$. Khi đó $AK\perp SB,CK\perp SB$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AK$ và $CK$.
Ta có: $AK=CK=\frac{a\sqrt{3}}{2},AC=a\sqrt{2}$.
Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ACK$, ta có:
$\cos \widehat { AKC }=\frac{AK^{2} +CK^{2} -AC^{2}}{2\cdot AK\cdot CK}=\frac{-1}{3}$, suy ra $\cos (AK,CK)=-\cos \widehat { AKC }=\frac{1}{3}$.
Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $\frac{1}{3}$.