Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(4;-2),B(10;4)$ và điểm $M$ nằm trên trục $Ox$. Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho $\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|$ có giá trị nhỏ nhất.

Question

Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho hai điểm $A(4;-2),B(10;4)$ và điểm $M$ nằm trên trục $Ox$. Tìm toạ độ điểm $M$ sao cho $\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|$ có giá trị nhỏ nhất.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Vì $M$ nằm trên trục $Ox$ nên có toạ độ $(m;0)$ ($m$ là số thực). Khi đó, $\overrightarrow{MA}=(4-m;-2),\overrightarrow{MB}=(10-m;4)$ suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(14-2m;2)$. Do đó $\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=\sqrt{(14-2m)^2+2^2}\geq2$ (vì $(14-2m)^2\geq0$). Dấu bằng xảy ra khi $m=7$. Vậy $\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|$ có giá trị nhỏ nhất bằng $2$ khi $M$ có toạ độ là $(7;0)$.

Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 69