Bài tự luận · Bài 35
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 35
Trong một phép lai, xác suất một cá thể tạo ra ở thế hệ $ F_{ 1 } $ mang biến dị tổ hợp là $ \frac { 5 } { 8 } $. Gọi $ X $ là số cá thể mang biến dị tổ hợp trong 3 cá thể $ F_{ 1 } $ được lựa chọn ngẫu nhiên một cách độc lập.
a) Lập bảng phân bố xác suất của $ X $.
b) Tính kì vọng và phương sai của $ X $.
a) Lập bảng phân bố xác suất của $ X $.
b) Tính kì vọng và phương sai của $ X $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $ T $ là phép thử "Chọn ngẫu nhiên 1 cá thể ở thế hệ $ F_{ 1 } $ " và $ A $ là biến cố "Cá thể được chọn mang biến dị tổ hợp". Gọi $ X $ là số lần xảy ra biến cố $ A $ khi lặp 3 lần phép thử $ T $.
Do phép thử $ T $ được thực hiện 3 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi lần thử đều bằng $ \frac { 5 } { 8 } $ nên $ X $ là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $ B\left ( { 3;\frac { 5 } { 8 } } \right ) $. Do đó $ P(X=k)=C_{ 3 } ^{ k }\cdot \left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { k } \cdot \left ( { \frac { 3 } { 8 } } \right ) ^ { 3-k } ,{ \rm{ } }{ \rm{ } }k=0,1,2,3. $
Lần lượt tính $ P(X=k) $ với $ k=0,1,2,3 $ từ công thức trên, ta thu được bảng phân bố xác suất của $ X $ như sau:
$ X $ 0 1 2 3
$ P $ $ \frac { 27 } { 512 } $ $ \frac { 135 } { 512 } $ $ \frac { 225 } { 512 } $ $ \frac { 125 } { 512 } $
b) Kì vọng của $ X $ là
$ E(X)=0\cdot \frac { 27 } { 512 }+1\cdot \frac { 135 } { 512 }+2\cdot \frac { 225 } { 512 }+3\cdot \frac { 125 } { 512 }=\frac { 15 } { 8 }=1,875 $
Phương sai của $ X $ là $ V(X)=0 ^ { 2 } \cdot \frac { 27 } { 512 }+1 ^ { 2 } \cdot \frac { 135 } { 512 }+2 ^ { 2 } \cdot \frac { 225 } { 512 }+3 ^ { 2 } \cdot \frac { 125 } { 512 }-\left ( { \frac { 15 } { 8 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 45 } { 64 }=0,703125 $
Do phép thử $ T $ được thực hiện 3 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi lần thử đều bằng $ \frac { 5 } { 8 } $ nên $ X $ là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $ B\left ( { 3;\frac { 5 } { 8 } } \right ) $. Do đó $ P(X=k)=C_{ 3 } ^{ k }\cdot \left ( { \frac { 5 } { 8 } } \right ) ^ { k } \cdot \left ( { \frac { 3 } { 8 } } \right ) ^ { 3-k } ,{ \rm{ } }{ \rm{ } }k=0,1,2,3. $
Lần lượt tính $ P(X=k) $ với $ k=0,1,2,3 $ từ công thức trên, ta thu được bảng phân bố xác suất của $ X $ như sau:
$ X $ 0 1 2 3
$ P $ $ \frac { 27 } { 512 } $ $ \frac { 135 } { 512 } $ $ \frac { 225 } { 512 } $ $ \frac { 125 } { 512 } $
b) Kì vọng của $ X $ là
$ E(X)=0\cdot \frac { 27 } { 512 }+1\cdot \frac { 135 } { 512 }+2\cdot \frac { 225 } { 512 }+3\cdot \frac { 125 } { 512 }=\frac { 15 } { 8 }=1,875 $
Phương sai của $ X $ là $ V(X)=0 ^ { 2 } \cdot \frac { 27 } { 512 }+1 ^ { 2 } \cdot \frac { 135 } { 512 }+2 ^ { 2 } \cdot \frac { 225 } { 512 }+3 ^ { 2 } \cdot \frac { 125 } { 512 }-\left ( { \frac { 15 } { 8 } } \right ) ^ { 2 } =\frac { 45 } { 64 }=0,703125 $