Bài tự luận · Bài 35
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 35
Một hệ thông tin có $ n $ thành phần hoạt động độc lập với nhau. Xác suất hoạt động của mỗi thành phần là $ p $. Hệ hoạt động nếu có ít nhất một nửa các thành phần hoạt động. Với giá trị nào của $ p $ thì hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần?
Xem lời giải
Lời giải
Với hệ 5 thành phần: Gọi $ X $ là số thành phần hoạt động. Ta có $ X~B(5,p) $. Hệ hoạt động nếu $ X\geq 3 $. Theo chú ý về phân bố nhị thức, xác suất để hệ thống hoạt động là:
$ P(X\geq 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C_{ 5 } ^{ 3 }p ^ { 3 } (1-p) ^ { 2 } +C_{ 5 } ^{ 4 }p ^ { 4 } (1-p)+p ^ { 5 } $
Với hệ 3 thành phần: Gọi $ Y $ là số thành phần hoạt động. Ta có $ Y~B(3,p) $. Hệ hoạt động nếu $ Y\geq 2 $. Theo chú ý về phân bố nhị thức, xác suất để hệ thống hoạt động là:
$ P(Y\geq 2)=P(Y=2)+P(Y=3)=C_{ 3 } ^{ 2 }p ^ { 2 } (1-p)+p ^ { 3 } $
Hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần khi và chỉ khi
$ C_{ 5 } ^{ 3 }p ^ { 3 } (1-p) ^ { 2 } +C_{ 5 } ^{ 4 }p ^ { 4 } (1-p)+p ^ { 5 } >C_{ 3 } ^{ 2 }p ^ { 2 } (1-p)+p ^ { 3 } \Leftrightarrow 2p ^ { 2 } -3p+1 < 0\Rightarrow p>\frac { 1 } { 2 }. $
$ P(X\geq 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C_{ 5 } ^{ 3 }p ^ { 3 } (1-p) ^ { 2 } +C_{ 5 } ^{ 4 }p ^ { 4 } (1-p)+p ^ { 5 } $
Với hệ 3 thành phần: Gọi $ Y $ là số thành phần hoạt động. Ta có $ Y~B(3,p) $. Hệ hoạt động nếu $ Y\geq 2 $. Theo chú ý về phân bố nhị thức, xác suất để hệ thống hoạt động là:
$ P(Y\geq 2)=P(Y=2)+P(Y=3)=C_{ 3 } ^{ 2 }p ^ { 2 } (1-p)+p ^ { 3 } $
Hệ 5 thành phần tốt hơn hệ 3 thành phần khi và chỉ khi
$ C_{ 5 } ^{ 3 }p ^ { 3 } (1-p) ^ { 2 } +C_{ 5 } ^{ 4 }p ^ { 4 } (1-p)+p ^ { 5 } >C_{ 3 } ^{ 2 }p ^ { 2 } (1-p)+p ^ { 3 } \Leftrightarrow 2p ^ { 2 } -3p+1 < 0\Rightarrow p>\frac { 1 } { 2 }. $