Bài tập nâng cao · Bài 15
F. BÀI TẬP NÂNG CAO Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 15
Chọn ngẫu nhiên $ 3 $ số khác nhau từ $ 35 $ số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được ba số lập thành một cấp số cộng có công sai là số lẻ là
Xem lời giải
Lời giải
$ A=\left \{ \begin{array}{l} 1;5;9;13;17;21;25;29;33 \end{array} \right \} $.
$ B=\left \{ \begin{array}{l} 2;6;10;14;18;22;26;30;34 \end{array} \right \} $
$ C=\left \{ \begin{array}{l} 3;7;11;15;19;23;27;31;35 \end{array} \right \} $
$ D=\left \{ \begin{array}{l} 4;8;12;16;20;24;28;32 \end{array} \right \} $
+ $ a $, $ b $, $ c $ là cấp số cộng $ \Leftrightarrow a+c=2b $. Suy ra $ a $, $ c $ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
+ Vì công sai $ d $ lẻ nên ở trường hợp $ a $, $ c $ chẵn thì $ b $ lẻ, ở trường hợp $ a $, $ c $ lẻ thì $ b $ chẵn.
+ Chọn một số thuộc $ A $ một số thuộc $ C $ (cho $ a $, $ c $). Có $ 9.9 $ cách chọn.
+ Chọn một số thuộc $ B $ một số thuộc $ D $. Có $ 9.8 $ cách chọn.
+ Ứng với mỗi cách chọn $ a $, $ c $, có $ 1 $ cách chọn $ b $$ \left ( { b=\frac { a+c } { 2 } } \right ) $.
+ Gọi $ E $ là biến cố cần tìm, ta có $ n\left ( { E } \right )=9.9+9.8=153\Rightarrow P\left ( { E } \right )=\frac { 153 } { C_{ 35 } ^{ 3 } }=\frac { 9 } { 385 } $.
$ B=\left \{ \begin{array}{l} 2;6;10;14;18;22;26;30;34 \end{array} \right \} $
$ C=\left \{ \begin{array}{l} 3;7;11;15;19;23;27;31;35 \end{array} \right \} $
$ D=\left \{ \begin{array}{l} 4;8;12;16;20;24;28;32 \end{array} \right \} $
+ $ a $, $ b $, $ c $ là cấp số cộng $ \Leftrightarrow a+c=2b $. Suy ra $ a $, $ c $ cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
+ Vì công sai $ d $ lẻ nên ở trường hợp $ a $, $ c $ chẵn thì $ b $ lẻ, ở trường hợp $ a $, $ c $ lẻ thì $ b $ chẵn.
+ Chọn một số thuộc $ A $ một số thuộc $ C $ (cho $ a $, $ c $). Có $ 9.9 $ cách chọn.
+ Chọn một số thuộc $ B $ một số thuộc $ D $. Có $ 9.8 $ cách chọn.
+ Ứng với mỗi cách chọn $ a $, $ c $, có $ 1 $ cách chọn $ b $$ \left ( { b=\frac { a+c } { 2 } } \right ) $.
+ Gọi $ E $ là biến cố cần tìm, ta có $ n\left ( { E } \right )=9.9+9.8=153\Rightarrow P\left ( { E } \right )=\frac { 153 } { C_{ 35 } ^{ 3 } }=\frac { 9 } { 385 } $.