Bài tự luận · Bài 30
Dạng 4. Vận dụng
Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 30
(CD11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật, $(SAC)\perp(ABCD)$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD, (SBM)\perp(ABCD)$. Giả sử $SA=5a, AB=3a, AD=4a$ và góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $\varphi$. Tính $\cos\varphi$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $AC$. Vì $(SAC)\perp(ABCD), (SBM)\perp(ABCD)$ và $SH=(SAC)\cap(SBM)$ nên $SH\perp(ABCD)$.
Khi đó, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $\widehat{SAH}$. Ta có:
$AC=\sqrt{AD^2+DC^2}=\sqrt{(3a)^2+(4a)^2}=5a$. Vì $AM\parallel BC$ nên $\frac{AH}{HC}=\frac{AM}{BC}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow AH=\frac{1}{2}HC\Rightarrow AH=\frac{1}{3}AC=\frac{5a}{3}$. Vậy $\cos\varphi=\cos\widehat{SAH}=\frac{AH}{SA}=\frac{1}{3}$.