Từ các chữ số $ 0,1,2,3,4,5 $lập được bao nhiêu số tự nhiên có $ 5 $chữ số đôi một khác nhau thỏa mãn hai chữ số $ 3 $ và $ 4 $ không đứng cạnh nhau.

Đếm các số $ \overset\rightharpoonup { abcde } $ có $ 5 $chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số $ 0,1,2,3,4,5 $ Bước 1: Chọn $ a $ có $ 5 $ cách Bước 2: Điền $ 5 $ chữ số vào có $ A_{ 5 } ^{ 4 } $cách Suy ra có $ 5.A_{ 5 } ^{ 4 }=600 $ số có $ 5 $ chữ số khác nhau. Đếm các số $ \overset\rightharpoonup { abcde } $ có $ 5 $ chữ số khác nhau mà chữ số $ 3 $ và $ 4 $ đứng cạnh nhau. Coi chữ số $ 3 $ và $ 4 $ là chữ số $ M $. *) Trường hợp 1: Đếm các số có 4 chữ số khác nhau $ \overset\rightharpoonup { abcd } $ bất kì, có mặt chữ số $ M $. Bước 1: Điền chữ số $ M $có $ 4 $ cách Bước 2: Điền $ 4 $ chữ số còn lại khác M vào $ 3 $ vị trí có $ A_{ 4 } ^{ 3 } $cách Bước 3: Đảo vị trí chữ số $ 3 $ và $ 4 $ trong M có $ 2 $ cách. Suy ra có $ 4.A_{ 4 } ^{ 3 }.2=192 $ số. *) Trường hợp 2: Đếm các số có $ 4 $ chữ số khác nhau $ \overset\rightharpoonup { 0bcd } $ bất kì, có mặt chữ số $ M $. Bước 1: Điền chữ số $ M $ có $ 3 $ cách Bước 2: Điền 3 chữ số còn lại khác $ M $ vào $ 2 $ vị trí có $ A_{ 3 } ^{ 2 } $ cách Bước 3: Đảo vị trí chữ số $ 3 $ và $ 4 $ trong $ M $ có $ 2 $ cách. Suy ra có $ 3.A_{ 3 } ^{ 2 }.2=36 $ số. Vậy số các số có $ 5 $ chữ số khác nhau mà chữ số $ 3 $ và $ 4 $ đứng cạnh nhau là $ 192-36=156 $ Vậy số các số có $ 5 $ chữ số khác nhau mà chữ số $ 3 $ và $ 4 $ không đứng cạnh nhau là $ 600-156=444 $