Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 35
Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm. Giả sử tổng chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm đó được cho bởi:
$f(x)=0,0001x^2+0,2x+10000$ ($x\geq1$).
Giả sử tổng số tiền doanh nghiệp thu được (đơn vị: triệu đồng) khi bán hết $x$ sản phẩm đó là: $g(x)=2x+9000$ ($x\geq1$).
(Nguồn: R. Larson and B. Edvards, Calculus 10e, Cengage 2014).
a) Tính số tiền lãi doanh nghiệp thu được khi bán hết $x$ sản phẩm đó. Từ đó, hãy cho biết doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để số tiền lãi thu được là lớn nhất.
b) Tỉ số $M(x)=\frac{f(x)}{x}$ ($x\geq1$) được gọi là chi phí trung bình cho một sản phẩm khi bán ra. Hãy cho biết doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình là nhỏ nhất.
Xem lời giải
Lời giải
a) Số tiền lãi doanh nghiệp thu được khi bán hết $x$ sản phẩm là:
$g(x)-f(x)=(2x+9000)-(0,0001x^2+0,2x+10000)=-0,0001x^2+1,8x-1000$.
Xét hàm $h(x)=-0,0001x^2+1,8x-1000$, với $x\geq1$.
Ta có: $h'(x)=-0,0002x+1,8$;
$h'(x)=0\Leftrightarrow x=9000$.
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: $\max_{[1;+\infty)}h(x)=7100$ tại $x=9000$.
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 9000 sản phẩm để số tiền lãi thu được là lớn nhất.
b) Ta thấy: $M(x)=\frac{0,0001x^2+0,2x+10000}{x}=0,0001x+\frac{10000}{x}+0,2$.
Xét hàm $M(x)=0,0001x+\frac{10000}{x}+0,2$, với $x\geq1$.
Ta có: $M'(x)=0,0001-\frac{10000}{x^2}$;
$M'(x)=0\Leftrightarrow x=10000$ (do $x\geq1$).
Bảng biến thiên của hàm số:
Căn cứ bảng biến thiên, ta có: $\min_{[1;+\infty)}M(x)=2,2$ tại $x=10000$.
Vậy doanh nghiệp cần sản xuất 10000 sản phẩm để chi phí trung bình là nhỏ nhất.
